Номер 740, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 740, страница 196.

Условие.

740. Моторная лодка прошла по течению реки 36 км и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, зная, что скорость течения равна 3 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. По условию задачи, скорость течения реки равна 3 км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(x - 3)$ км/ч. Для того чтобы лодка могла вернуться обратно, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Лодка прошла 36 км по течению. Время, которое она на это затратила, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{36}{x+3}$ часов.

На обратный путь лодка также прошла 36 км, но уже против течения. Затраченное время равно $t_2 = \frac{36}{x-3}$ часов.

Суммарное время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения: $t_1 + t_2 = 5$ $\frac{36}{x+3} + \frac{36}{x-3} = 5$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$: $\frac{36(x-3) + 36(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5$

Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $\frac{36x - 108 + 36x + 108}{x^2 - 9} = 5$

Упростим числитель: $\frac{72x}{x^2 - 9} = 5$

Это уравнение эквивалентно системе: $72x = 5(x^2 - 9)$ $x^2 - 9 \neq 0$

Решим первое уравнение: $72x = 5x^2 - 45$ $5x^2 - 72x - 45 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $a = 5, b = -72, c = -45$ $D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084$ $\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$

Теперь найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6$

Корень $x_2 = -0.6$ не удовлетворяет физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Также он не удовлетворяет нашему ограничению $x > 3$. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет всем условиям.

Выполним проверку. Если собственная скорость лодки 15 км/ч: Время по течению: $\frac{36}{15+3} = \frac{36}{18} = 2$ часа. Время против течения: $\frac{36}{15-3} = \frac{36}{12} = 3$ часа. Общее время в пути: $2 + 3 = 5$ часов, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.