Номер 739, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

739. Две автомашины отправились одновременно из села в город, который удалён на 180 км. Одна автомашина пришла в город на 45 мин позже другой, так как её скорость была на 20 км/ч меньше. С какой скоростью шла каждая автомашина?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v$ км/ч — скорость более быстрой автомашины. Тогда, согласно условию, скорость второй, более медленной, автомашины равна $(v - 20)$ км/ч.

Обе машины проехали одинаковое расстояние $S = 180$ км.

Время, которое затратила на путь первая (быстрая) автомашина, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{180}{v}$ часов.

Время, которое затратила на путь вторая (медленная) автомашина, равно $t_2 = \frac{S}{v - 20} = \frac{180}{v - 20}$ часов.

Из условия известно, что вторая машина пришла на 45 минут позже. Переведем 45 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени движения составляет $\frac{3}{4}$ часа. Так как вторая машина ехала дольше, то $t_2 - t_1 = \frac{3}{4}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{180}{v - 20} - \frac{180}{v} = \frac{3}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v - 20)$:

$\frac{180v - 180(v - 20)}{v(v - 20)} = \frac{3}{4}$

$\frac{180v - 180v + 3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

$\frac{3600}{v^2 - 20v} = \frac{3}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим крест-накрест):

$3 \cdot (v^2 - 20v) = 3600 \cdot 4$

$3(v^2 - 20v) = 14400$

Разделим обе части уравнения на 3:

$v^2 - 20v = 4800$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 - 20v - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-20) \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm 140}{2}$

Получаем два возможных значения для скорости:

$v_1 = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -60$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, скорость быстрой автомашины составляет 80 км/ч.

Теперь найдем скорость второй (медленной) автомашины:

$v - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость одной автомашины 80 км/ч, скорость другой автомашины 60 км/ч.