Номер 743, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 743, страница 196.

Условие.

743. Токарь должен был обработать 240 деталей к определённому сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому выполнил задание на 4 ч раньше срока. Сколько деталей в час должен был обрабатывать токарь?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ — количество деталей, которое токарь должен был обрабатывать в час по плану. Тогда, усовершенствовав резец, он стал обрабатывать $x + 2$ детали в час.

Время, которое токарь должен был затратить на всю работу по плану, составляет $\frac{240}{x}$ часов. Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{240}{x+2}$ часов.

По условию задачи, токарь выполнил задание на 4 часа раньше срока. Это означает, что разница между плановым и фактическим временем составляет 4 часа. Составим уравнение:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+2} = 4$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 1$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 1$

$\frac{120}{x^2 + 2x} = 1$

Из этого следует, что:

$x^2 + 2x = 120$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, произведение корней равно -120, а их сумма равна -2. Подбираем корни:

$x_1 = 10$

$x_2 = -12$

Поскольку $x$ представляет собой количество деталей в час, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -12$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, по плану токарь должен был обрабатывать 10 деталей в час.

Проверим решение:
Плановая производительность: 10 деталей/час. Время по плану: $240 / 10 = 24$ часа.
Фактическая производительность: $10 + 2 = 12$ деталей/час. Фактическое время: $240 / 12 = 20$ часов.
Разница во времени: $24 - 20 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 10 деталей.