Номер 749, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

749. Решите уравнение, введя новую переменную:

а) $2(5x - 1)? + 35x - 11 = 0$
Для того чтобы ввести новую переменную, преобразуем выражение $35x - 11$. Мы видим, что $35x$ кратно $5x$. Попытаемся выделить выражение $5x - 1$:
$35x - 11 = 7 \cdot (5x) - 11 = 7(5x - 1) + 7 - 11 = 7(5x - 1) - 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$2(5x - 1)? + 7(5x - 1) - 4 = 0$.
Введем замену: пусть $y = 5x - 1$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$2y? + 7y - 4 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b? - 4ac = 7? - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9?$.
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня $y$.
1) При $y = -4$:
$5x - 1 = -4$
$5x = -3$
$x_1 = -\frac{3}{5} = -0,6$.
2) При $y = \frac{1}{2}$:
$5x - 1 = \frac{1}{2}$
$5x = 1 + \frac{1}{2}$
$5x = \frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $-0,6; 0,3$.

б) $(x? + x - 3)? + 12x? + 12x - 9 = 0$
Заметим, что выражение $12x? + 12x - 9$ можно преобразовать, вынеся общий множитель $12$ и выделив выражение $x? + x - 3$:
$12x? + 12x - 9 = 12(x? + x) - 9 = 12(x? + x - 3 + 3) - 9 = 12(x? + x - 3) + 12 \cdot 3 - 9 = 12(x? + x - 3) + 36 - 9 = 12(x? + x - 3) + 27$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(x? + x - 3)? + 12(x? + x - 3) + 27 = 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = x? + x - 3$. Тогда уравнение примет вид:
$t? + 12t + 27 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -12$
$t_1 \cdot t_2 = 27$
Подбором находим корни: $t_1 = -9$ и $t_2 = -3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) При $t = -9$:
$x? + x - 3 = -9$
$x? + x + 6 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1? - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
2) При $t = -3$:
$x? + x - 3 = -3$
$x? + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 0$ или $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$.
Ответ: $-1; 0$.