Номер 742, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 742, страница 196.

Условие.

742. Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде. Нам нужно найти значение $x$.

Скорость течения реки по условию равна 5 км/ч.

Следовательно, скорость катера по течению реки составляет $v_{по} = (x + 5)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки составляет $v_{пр} = (x - 5)$ км/ч.

Катер прошёл 75 км по течению и 75 км против течения. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{75}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{пр} = \frac{75}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно сумме времени по течению и против течения:

$T_{общ} = t_{по} + t_{пр} = \frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5}$ ч.

Теперь рассчитаем время, которое потребовалось бы катеру, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Скорость в стоячей воде равна $x$ км/ч.

$T_{ст} = \frac{80}{x}$ ч.

Согласно условию задачи, на весь путь по реке ($T_{общ}$) катер затратил в 2 раза больше времени, чем на путь в стоячей воде ($T_{ст}$). На основе этого составим уравнение:

$T_{общ} = 2 \cdot T_{ст}$

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x}$

$\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = \frac{160}{x}$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+5)(x-5) = x^2 - 25$:

$\frac{75(x-5) + 75(x+5)}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{75x - 375 + 75x + 375}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

$\frac{150x}{x^2 - 25} = \frac{160}{x}$

Решим получившееся уравнение методом пропорции. Стоит отметить, что скорость $x$ должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$.

$150x \cdot x = 160 \cdot (x^2 - 25)$

$150x^2 = 160x^2 - 160 \cdot 25$

$150x^2 = 160x^2 - 4000$

Перенесём слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а числовое значение — в другую:

$160x^2 - 150x^2 = 4000$

$10x^2 = 4000$

$x^2 = \frac{4000}{10}$

$x^2 = 400$

$x = \sqrt{400}$

$x = 20$

(Мы выбираем только положительный корень, так как скорость не может быть отрицательной). Полученное значение $x=20$ км/ч удовлетворяет условию $x > 5$.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.