Номер 737, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 737, страница 195.

Условие.

737. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $ x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $ $ x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $ $ x^2-9 = (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $. Итак, ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

Приведем все дроби к общему знаменателю $ (x-3)(x+3) $: $ \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{(x-3)(x+3)} $

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей: $ x(x+3) - 5(x-3) = 18 $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение: $ x^2 + 3x - 5x + 15 = 18 $ $ x^2 - 2x + 15 - 18 = 0 $ $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 3 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 3 $), поэтому является посторонним. Корень $ x_2 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1

б)

Исходное уравнение: $ \frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4} $.

ОДЗ: $ x^2-16 = (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4 $.

Приведем к общему знаменателю $ (x-4)(x+4) $: $ \frac{70}{(x-4)(x+4)} - \frac{17(x+4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{3x(x-4)}{(x-4)(x+4)} $

Умножим на общий знаменатель: $ 70 - 17(x+4) = 3x(x-4) $ $ 70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x $ $ 2 - 17x = 3x^2 - 12x $ $ 3x^2 - 12x + 17x - 2 = 0 $ $ 3x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $ $ x_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ $ x_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \neq \pm 4 $).

Ответ: -2; $ \frac{1}{3} $

в)

Исходное уравнение: $ \frac{3}{(2-x)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{x^2-4} $.

Заметим, что $ (2-x)^2 = (x-2)^2 $. Уравнение примет вид: $ \frac{3}{(x-2)^2} - \frac{5}{(x+2)^2} = \frac{14}{(x-2)(x+2)} $

ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 $ и $ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $. Итак, $ x \neq \pm 2 $.

Общий знаменатель: $ (x-2)^2(x+2)^2 $. Умножим на него: $ 3(x+2)^2 - 5(x-2)^2 = 14(x-2)(x+2) $ $ 3(x^2 + 4x + 4) - 5(x^2 - 4x + 4) = 14(x^2 - 4) $ $ 3x^2 + 12x + 12 - 5x^2 + 20x - 20 = 14x^2 - 56 $ $ -2x^2 + 32x - 8 = 14x^2 - 56 $ $ 16x^2 - 32x - 48 = 0 $ Делим все на 16: $ x^2 - 2x - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 3 $, $ x_2 = -1 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 3

г)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{4-x^2} - \frac{1}{2x-4} - \frac{7}{2x^2+4x} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{-(x-2)(x+2)} - \frac{1}{2(x-2)} - \frac{7}{2x(x+2)} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-2)(x+2) $. Умножим на него: $ -2(2x) - 1(x(x+2)) - 7(x-2) = 0 $ $ -4x - x^2 - 2x - 7x + 14 = 0 $ $ -x^2 - 13x + 14 = 0 $ $ x^2 + 13x - 14 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -14 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -14; 1

д)

Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{1}{3x-x^2} = \frac{3}{2x+6} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{1}{-x(x-3)} = \frac{3}{2(x+3)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 3, x \neq -3 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 1(2x) - 1(2(x+3)) = 3(x(x-3)) $ $ 2x - 2x - 6 = 3x^2 - 9x $ $ -6 = 3x^2 - 9x $ $ 3x^2 - 9x + 6 = 0 $ Делим все на 3: $ x^2 - 3x + 2 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 2 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1; 2

е)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{1-x^2} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(x+1)^2} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{(1-x)(1+x)} - \frac{1}{1-x} + \frac{4}{(1+x)^2} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 1 $.

Общий знаменатель $ (1-x)(1+x)^2 $. Умножим на него: $ 2(1+x) - 1(1+x)^2 + 4(1-x) = 0 $ $ 2+2x - (1+2x+x^2) + 4-4x = 0 $ $ 2+2x-1-2x-x^2+4-4x = 0 $ $ -x^2 - 4x + 5 = 0 $ $ x^2 + 4x - 5 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -5 $. Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $). Корень $ x_2 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -5

ж)

Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2+5x} + \frac{3}{2x-10} = \frac{15}{x^2-25} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{2}{x(x+5)} + \frac{3}{2(x-5)} = \frac{15}{(x-5)(x+5)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 5, x \neq -5 $.

Общий знаменатель $ 2x(x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ 2(2(x-5)) + 3(x(x+5)) = 15(2x) $ $ 4x - 20 + 3x^2 + 15x = 30x $ $ 3x^2 + 19x - 20 - 30x = 0 $ $ 3x^2 - 11x - 20 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2 $ $ x_1 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $ $ x_2 = \frac{11 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} $

Корень $ x_1 = 5 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 5 $). Корень $ x_2 = -\frac{4}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -\frac{4}{3} $

з)

Исходное уравнение: $ \frac{5}{2x+6} - \frac{1}{6x^2-18x} = \frac{29}{27-3x^2} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{5}{2(x+3)} - \frac{1}{6x(x-3)} = \frac{29}{-3(x-3)(x+3)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0, x \neq 3, x \neq -3 $.

Общий знаменатель $ 6x(x-3)(x+3) $. Умножим на него: $ 5(3x(x-3)) - 1(x+3) = 29(-2x) $ $ 15x^2 - 45x - x - 3 = -58x $ $ 15x^2 - 46x + 58x - 3 = 0 $ $ 15x^2 + 12x - 3 = 0 $ Делим все на 3: $ 5x^2 + 4x - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение: $ D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2 $ $ x_1 = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $ $ x_2 = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; $ \frac{1}{5} $

и)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} + \frac{76}{25-x^2} = 0 $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{x}{x-5} - \frac{4}{x+5} - \frac{76}{(x-5)(x+5)} = 0 $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 5 $.

Общий знаменатель $ (x-5)(x+5) $. Умножим на него: $ x(x+5) - 4(x-5) - 76 = 0 $ $ x^2 + 5x - 4x + 20 - 76 = 0 $ $ x^2 + x - 56 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 7 $, $ x_2 = -8 $. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -8; 7

к)

Исходное уравнение: $ \frac{7x}{x^2-36} + \frac{3}{6-x} = \frac{7}{x+6} $.

Преобразуем знаменатели: $ \frac{7x}{(x-6)(x+6)} - \frac{3}{x-6} = \frac{7}{x+6} $.

ОДЗ: $ x \neq \pm 6 $.

Общий знаменатель $ (x-6)(x+6) $. Умножим на него: $ 7x - 3(x+6) = 7(x-6) $ $ 7x - 3x - 18 = 7x - 42 $ $ 4x - 18 = 7x - 42 $ $ 42 - 18 = 7x - 4x $ $ 24 = 3x $ $ x = 8 $

Корень $ x=8 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 8