Номер 732, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 732, страница 195.

Условие.

732. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $0,3x(x + 13) - 2x(0,9 - 0,2x) = 0$
Раскроем скобки в уравнении:
$0,3x^2 + 3,9x - 1,8x + 0,4x^2 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(0,3x^2 + 0,4x^2) + (3,9x - 1,8x) = 0$
$0,7x^2 + 2,1x = 0$
Вынесем общий множитель $0,7x$ за скобки:
$0,7x(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$0,7x = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$
$x_2 = -3$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

б) $1,5x(x + 4) - x(7 - 0,5x) = 0,5(10 - 2x)$
Раскроем скобки:
$1,5x^2 + 6x - 7x + 0,5x^2 = 5 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(1,5x^2 + 0,5x^2) + (6x - 7x) = 5 - x$
$2x^2 - x = 5 - x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2x^2 - x + x - 5 = 0$
$2x^2 - 5 = 0$
Решим полученное неполное квадратное уравнение:
$2x^2 = 5$
$x^2 = \frac{5}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
Ответ: $x_1 = -\frac{\sqrt{10}}{2}, x_2 = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) $\frac{(2x + 1)^2}{25} - \frac{x - 1}{3} = x$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен $25 \cdot 3 = 75$:
$3(2x + 1)^2 - 25(x - 1) = 75x$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$3(4x^2 + 4x + 1) - 25x + 25 = 75x$
$12x^2 + 12x + 3 - 25x + 25 = 75x$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:
$12x^2 - 13x + 28 = 75x$
$12x^2 - 88x + 28 = 0$
Разделим уравнение на 4 для упрощения:
$3x^2 - 22x + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400 = 20^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x_1 = \frac{22 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x_2 = \frac{22 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = 7$.

г) $\frac{(3x + 2)^2}{11} - \frac{x + 5}{4} = x^2$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $11 \cdot 4 = 44$:
$4(3x + 2)^2 - 11(x + 5) = 44x^2$
Раскроем скобки:
$4(9x^2 + 12x + 4) - 11x - 55 = 44x^2$
$36x^2 + 48x + 16 - 11x - 55 = 44x^2$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все в одну часть:
$36x^2 + 37x - 39 = 44x^2$
$0 = 44x^2 - 36x^2 - 37x + 39$
$8x^2 - 37x + 39 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-37)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1369 - 1248 = 121 = 11^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{37 - 11}{2 \cdot 8} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$
$x_2 = \frac{37 + 11}{2 \cdot 8} = \frac{48}{16} = 3$
Ответ: $x_1 = \frac{13}{8}, x_2 = 3$.

д) $\frac{(2 - x)^2}{3} - 2x = \frac{(7 + 2x)^2}{5}$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $3 \cdot 5 = 15$:
$5(2 - x)^2 - 15 \cdot 2x = 3(7 + 2x)^2$
$5(x - 2)^2 - 30x = 3(2x + 7)^2$
Раскроем скобки:
$5(x^2 - 4x + 4) - 30x = 3(4x^2 + 28x + 49)$
$5x^2 - 20x + 20 - 30x = 12x^2 + 84x + 147$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 - 50x + 20 = 12x^2 + 84x + 147$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (12x^2 - 5x^2) + (84x + 50x) + (147 - 20)$
$7x^2 + 134x + 127 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 134^2 - 4 \cdot 7 \cdot 127 = 17956 - 3556 = 14400 = 120^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-134 - 120}{2 \cdot 7} = \frac{-254}{14} = -\frac{127}{7}$
$x_2 = \frac{-134 + 120}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1$
Ответ: $x_1 = -\frac{127}{7}, x_2 = -1$.

е) $\frac{(6 - x)^2}{8} + x = 7 - \frac{(2x - 1)^2}{3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{(6 - x)^2}{8} + \frac{(2x - 1)^2}{3} + x - 7 = 0$
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $8 \cdot 3 = 24$:
$3(6 - x)^2 + 8(2x - 1)^2 + 24x - 168 = 0$
Раскроем скобки:
$3(36 - 12x + x^2) + 8(4x^2 - 4x + 1) + 24x - 168 = 0$
$108 - 36x + 3x^2 + 32x^2 - 32x + 8 + 24x - 168 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(3x^2 + 32x^2) + (-36x - 32x + 24x) + (108 + 8 - 168) = 0$
$35x^2 - 44x - 52 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-44)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-52) = 1936 + 7280 = 9216 = 96^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{44 - 96}{2 \cdot 35} = \frac{-52}{70} = -\frac{26}{35}$
$x_2 = \frac{44 + 96}{2 \cdot 35} = \frac{140}{70} = 2$
Ответ: $x_1 = -\frac{26}{35}, x_2 = 2$.