Номер 729, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 729, страница 195.

Условие.

729. Существует ли значение переменной x, при котором значение квадратного трёхчлена x² – 10x + 31 равно:

а) –5;

б) 6;

в) 55?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо для каждого случая составить уравнение, приравняв квадратный трёхчлен $x^2 - 10x + 31$ к заданному значению. Затем нужно определить, имеет ли получившееся квадратное уравнение действительные корни. Это можно сделать с помощью вычисления дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$). Если $D \ge 0$, то действительные корни существуют, а значит, и искомое значение $x$ существует. Если $D < 0$, то действительных корней нет.

а) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным -5. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = -5$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 + 5 = 0$

$x^2 - 10x + 36 = 0$

Найдём дискриминант для этого уравнения, где $a=1$, $b=-10$, $c=36$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 100 - 144 = -44$

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, такого значения $x$ не существует.

Ответ: не существует.

б) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 6. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 6$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 - 6 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

Найдём дискриминант, где $a=1$, $b=-10$, $c=25$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень. Значит, искомое значение $x$ существует. Найдём его:

$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-10)}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: существует (при $x=5$).

в) Проверим, может ли значение трёхчлена быть равным 55. Составим и решим уравнение:

$x^2 - 10x + 31 = 55$

Перенесём все члены в левую часть:

$x^2 - 10x + 31 - 55 = 0$

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Найдём дискриминант, где $a=1$, $b=-10$, $c=-24$:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Поскольку дискриминант положительный ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Следовательно, такое значение $x$ существует. Найдём эти значения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 14}{2}$

$x_1 = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: существует (при $x=12$ и $x=-2$).