Номер 736, страница 195 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 736, страница 195.

Условие.

736. Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника, один из катетов которого на 20 м больше другого. Найдите длину границы данного участка, если его площадь равна 0,24 га.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи первым делом необходимо привести все величины к единой системе измерений. Площадь участка дана в гектарах (га), а разница длин катетов — в метрах (м). Переведем площадь в квадратные метры, зная, что 1 га = 10 000 м?.
$S = 0,24 \text{ га} = 0,24 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 2400 \text{ м}^2$.

Участок представляет собой прямоугольный треугольник. Пусть длина одного катета равна $x$ метров. По условию, другой катет на 20 м больше, значит, его длина составляет $(x + 20)$ метров.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Подставим в эту формулу известные нам данные и составим уравнение:
$2400 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 20)$.

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:
Умножим обе части на 2:
$4800 = x(x + 20)$
Раскроем скобки:
$4800 = x^2 + 20x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 20x - 4800 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$.
$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$.
Теперь найдем возможные значения $x$:
$x_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$.
$x_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 60$.
Следовательно, длины катетов треугольника равны:
Первый катет: $a = x = 60$ м.
Второй катет: $b = x + 20 = 60 + 20 = 80$ м.

Длина границы участка — это его периметр, то есть сумма длин всех сторон. Нам осталось найти длину гипотенузы $c$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $a^2 + b^2 = c^2$:
$c^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$.
$c = \sqrt{10000} = 100$ м.

Теперь мы можем вычислить периметр $P$ (длину границы):
$P = a + b + c = 60 + 80 + 100 = 240$ м.

Ответ: 240 м.