Номер 741, страница 196 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

741. Моторная лодка прошла 18 км по течению и 14 км против течения, затратив на весь путь 3 ч 15 мин. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки 10 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения. Собственная скорость лодки по условию равна $10$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(10 + x)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(10 - x)$ км/ч. Заметим, что скорость течения должна быть меньше собственной скорости лодки, чтобы лодка могла двигаться против течения, то есть $x < 10$.

Моторная лодка прошла 18 км по течению, затратив на это время $t_1 = \frac{18}{10 + x}$ часов. Против течения лодка прошла 14 км, затратив на это время $t_2 = \frac{14}{10 - x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 3 ч 15 мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $3 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 3 + \frac{15}{60} \text{ ч } = 3 + \frac{1}{4} \text{ ч } = \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$ часа.

Суммарное время движения равно $t_1 + t_2$, что по условию составляет $\frac{13}{4}$ часа. Составим и решим уравнение: $\frac{18}{10 + x} + \frac{14}{10 - x} = \frac{13}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(10 + x)(10 - x) = 100 - x^2$: $\frac{18(10 - x) + 14(10 + x)}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Упростим числитель левой части: $180 - 18x + 140 + 14x = 320 - 4x$
Получим уравнение: $\frac{320 - 4x}{100 - x^2} = \frac{13}{4}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $4(320 - 4x) = 13(100 - x^2)$
$1280 - 16x = 1300 - 13x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$: $13x^2 - 16x + 1280 - 1300 = 0$
$13x^2 - 16x - 20 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-20) = 256 + 1040 = 1296 = 36^2$

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 13} = \frac{16 \pm 36}{26}$
$x_1 = \frac{16 + 36}{26} = \frac{52}{26} = 2$
$x_2 = \frac{16 - 36}{26} = \frac{-20}{26} = -\frac{10}{13}$

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -\frac{10}{13}$ является посторонним и не удовлетворяет условию задачи. Единственное подходящее решение — $x=2$.

Ответ: 2 км/ч.