Номер 745, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 745, страница 197.

Условие.

745. Турист отправился на автомашине из города A в город B. Первые 75 км он ехал со скоростью, на 10 км/ч меньшей, чем рассчитывал, а остальной путь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем рассчитывал. В город B, который удалён от города A на 180 км, турист прибыл вовремя. С какой скоростью он ехал в конце пути?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v$ км/ч — это расчетная (планируемая) скорость, с которой турист собирался ехать весь путь.

Весь путь составляет 180 км. По плану, время в пути должно было составить $t_{план} = \frac{180}{v}$ часов.

Разобьем фактическую поездку на два участка:
1. Первый участок: расстояние $S_1 = 75$ км. Скорость на этом участке была на 10 км/ч меньше расчетной, то есть $v_1 = v - 10$ км/ч. Время, затраченное на первый участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{75}{v - 10}$ часов.
2. Второй участок: расстояние $S_2 = 180 - 75 = 105$ км. Скорость на этом участке была на 10 км/ч больше расчетной, то есть $v_2 = v + 10$ км/ч. Время, затраченное на второй участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{105}{v + 10}$ часов.

Общее фактическое время в пути равно сумме времен на двух участках: $t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$ часов.

По условию, турист прибыл в город В вовремя. Это означает, что фактическое время в пути равно планируемому времени:

$t_{план} = t_{факт}$

Составим и решим уравнение:

$\frac{180}{v} = \frac{75}{v - 10} + \frac{105}{v + 10}$

Для решения уравнения приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(v - 10)(v + 10)$:

$\frac{180}{v} = \frac{75(v + 10) + 105(v - 10)}{(v - 10)(v + 10)}$

Раскроем скобки в числителе правой части и в знаменателе:

$\frac{180}{v} = \frac{75v + 750 + 105v - 1050}{v^2 - 100}$

Упростим числитель в правой части:

$\frac{180}{v} = \frac{180v - 300}{v^2 - 100}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $v \neq 0$, $v \neq 10$, $v \neq -10$:

$180(v^2 - 100) = v(180v - 300)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$180v^2 - 18000 = 180v^2 - 300v$

Вычтем из обеих частей $180v^2$:

$-18000 = -300v$

Найдем $v$:

$v = \frac{18000}{300} = 60$

Таким образом, расчетная (планируемая) скорость туриста была равна 60 км/ч.

Вопрос задачи: "С какой скоростью он ехал в конце пути?". В конце пути (на втором участке) его скорость была $v_2 = v + 10$ км/ч.

$v_2 = 60 + 10 = 70$ км/ч.

Ответ: 70 км/ч.