Номер 748, страница 197 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

748. Решите уравнение:

а) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным, имеем ограничение $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба найденных значения для $t$ ($t_1=4$ и $t_2=\frac{1}{4}$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. При $t = 4$: $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

2. При $t = \frac{1}{4}$: $x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x = \pm \frac{1}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \frac{1}{2}$.

б) $9x^4 + 77x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$9t^2 + 77t - 36 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 77^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 5929 + 1296 = 7225 = 85^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-77 + 85}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-77 - 85}{2 \cdot 9} = \frac{-162}{18} = -9$

Корень $t_2 = -9$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{4}{9}$:

$x^2 = \frac{4}{9}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$, то есть $x = \pm \frac{2}{3}$.

Ответ: $\pm \frac{2}{3}$.

в) $2x^4 - 9x^2 - 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 - 9t - 5 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{9 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$t_2 = \frac{9 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и отбрасывается.

Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:

$x^2 = 5$, откуда $x = \pm\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$.

г) $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$6t^2 - 5t - 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$

$t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $\pm 1$.