Номер 753, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 753, страница 198.

Условие.

753. Решите графически уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Чтобы решить уравнение $x^3 = 7x - 6$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = x^3$ и $y = 7x - 6$.

1. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Для ее построения возьмем несколько точек:

• при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$
• при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$
• при $x = 0$, $y = 0^3 = 0$
• при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$
• при $x = 2$, $y = 2^3 = 8$
• при $x = -3$, $y = (-3)^3 = -27$

2. График функции $y = 7x - 6$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x = 0$, $y = 7 \cdot 0 - 6 = -6$
• при $x = 1$, $y = 7 \cdot 1 - 6 = 1$

Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в трех точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика находим, что это точки с абсциссами -3, 1 и 2.

Проверка:

• Для $x = -3$: $(-3)^3 = -27$ и $7(-3) - 6 = -21 - 6 = -27$. Верно.
• Для $x = 1$: $1^3 = 1$ и $7(1) - 6 = 7 - 6 = 1$. Верно.
• Для $x = 2$: $2^3 = 8$ и $7(2) - 6 = 14 - 6 = 8$. Верно.

Ответ: -3; 1; 2.

б)

Для графического решения уравнения $\frac{6}{x} = 0,5x - 2$ построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 0,5x - 2$.

1. График функции $y = \frac{6}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Точки для построения:

• (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)
• (-1, -6), (-2, -3), (-3, -2), (-6, -1)

2. График функции $y = 0,5x - 2$ — это прямая. Построим ее по двум точкам:

• при $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$
• при $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$

Построив графики, находим точки их пересечения. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. По графику видно, что это $x = -2$ и $x = 6$.

Проверка:

• Для $x = -2$: $\frac{6}{-2} = -3$ и $0,5(-2) - 2 = -1 - 2 = -3$. Верно.
• Для $x = 6$: $\frac{6}{6} = 1$ и $0,5(6) - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: -2; 6.

в)

Решим уравнение $\frac{4}{x} = x^2 - 2x$ графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x^2 - 2x$.

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с ветвями в I и III четвертях. Точки для построения: (1, 4), (2, 2), (4, 1), (-1, -4), (-2, -2).

2. График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_0 = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$. Вершина в точке (1, -1). Парабола пересекает ось Ox в точках $x(x-2)=0$, то есть (0, 0) и (2, 0).

Построим графики. Для $x < 0$ график $y = \frac{4}{x}$ лежит ниже оси Ox, а график $y = x^2 - 2x$ — выше оси Ox, поэтому пересечений в этой области нет. Для $x > 0$ графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки является единственным решением уравнения. Из графика видно, что точка пересечения находится в первой четверти. При $x=2$ значения функций: $y=\frac{4}{2}=2$ и $y=2^2-2\cdot2=0$. При $x=3$ значения: $y=\frac{4}{3} \approx 1,33$ и $y=3^2-2\cdot3=3$. Так как на отрезке $[2, 3]$ одна функция убывает, а другая возрастает, они пересекаются один раз. Графический метод позволяет определить лишь приблизительное значение корня.

Ответ: $x \approx 2,6$.

г)

Чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = x^3$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^3$.

Область определения обеих частей уравнения — $x \ge 0$.

1. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. Точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

2. График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола. Рассматриваем ее только при $x \ge 0$. Точки для построения: (0, 0), (1, 1), (2, 8).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках, абсциссы которых $x=0$ и $x=1$.

Проверка:

• Для $x = 0$: $\sqrt{0} = 0$ и $0^3 = 0$. Верно.
• Для $x = 1$: $\sqrt{1} = 1$ и $1^3 = 1$. Верно.

Ответ: 0; 1.