Номер 757, страница 198 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 757, страница 198.

Условие.

757. Каково расстояние от точки пересечения прямых 5x – 2y = –25 и –4x + 3y = 27:

а) до оси абсцисс;

б) до оси ординат;

в) до начала координат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для начала найдем точку пересечения прямых. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} 5x - 2y = -25 \\ -4x + 3y = 27 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами:

$\begin{cases} (5x - 2y) \cdot 3 = -25 \cdot 3 \\ (-4x + 3y) \cdot 2 = 27 \cdot 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 15x - 6y = -75 \\ -8x + 6y = 54 \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения системы:

$(15x - 6y) + (-8x + 6y) = -75 + 54$

$15x - 8x = -21$

$7x = -21$

$x = -3$

Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение, чтобы найти y:

$5(-3) - 2y = -25$

$-15 - 2y = -25$

$-2y = -25 + 15$

$-2y = -10$

$y = 5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(-3, 5)$. Обозначим эту точку $P(-3, 5)$.

Теперь найдем требуемые расстояния.

а) до оси абсцисс

Ось абсцисс — это ось Ox. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до оси абсцисс равно модулю ее ординаты, то есть $|y_0|$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до оси абсцисс равно $|5| = 5$.

Ответ: 5

б) до оси ординат

Ось ординат — это ось Oy. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до оси ординат равно модулю ее абсциссы, то есть $|x_0|$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до оси ординат равно $|-3| = 3$.

Ответ: 3

в) до начала координат

Начало координат — это точка $O(0, 0)$. Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до начала координат вычисляется по формуле расстояния между двумя точками (по теореме Пифагора): $d = \sqrt{x_0^2 + y_0^2}$.

Для точки $P(-3, 5)$ расстояние до начала координат равно $\sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Ответ: $\sqrt{34}$