Номер 762, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

762. При каких значениях b и c парабола y = x² + bx + c пересекает оси координат в точках (0; –3) и $\left(\frac{1}{2}; 0\right)?$ В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

При каких значениях b и c парабола y = x^2 + bx + c пересекает оси координат в точках (0; -3) и (1/2; 0)?

Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, мы воспользуемся тем, что парабола проходит через две заданные точки. Это означает, что координаты этих точек удовлетворяют уравнению параболы.

1. Подставим координаты точки пересечения с осью ординат $(0; -3)$ в уравнение параболы:

$-3 = (0)^2 + b \cdot 0 + c$

$-3 = 0 + 0 + c$

$c = -3$

Коэффициент $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$ всегда равен ординате точки пересечения с осью $y$. Таким образом, мы нашли $c = -3$. Уравнение параболы принимает вид: $y = x^2 + bx - 3$.

2. Теперь подставим координаты точки пересечения с осью абсцисс $(\frac{1}{2}; 0)$ в обновленное уравнение:

$0 = (\frac{1}{2})^2 + b \cdot \frac{1}{2} - 3$

$0 = \frac{1}{4} + \frac{b}{2} - 3$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$\frac{b}{2} = 3 - \frac{1}{4}$

$\frac{b}{2} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$\frac{b}{2} = \frac{11}{4}$

$b = \frac{11}{4} \cdot 2$

$b = \frac{11}{2}$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $b = \frac{11}{2}$, $c = -3$.

В какой ещё точке эта парабола пересекает ось x?

Теперь, когда мы знаем коэффициенты, полное уравнение параболы выглядит так:

$y = x^2 + \frac{11}{2}x - 3$

Точки пересечения параболы с осью $x$ (осью абсцисс) — это точки, у которых координата $y=0$. Чтобы найти абсциссы этих точек, необходимо решить квадратное уравнение:

$x^2 + \frac{11}{2}x - 3 = 0$

Из условия задачи нам уже известен один корень (одна точка пересечения) этого уравнения: $x_1 = \frac{1}{2}$. Второй корень $x_2$ можно найти, используя теорему Виета.

Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно свободному члену $q$. В нашем случае $q = -3$.

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Подставим известный корень $x_1 = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot x_2 = -3$

Умножим обе части на 2, чтобы найти $x_2$:

$x_2 = -3 \cdot 2$

$x_2 = -6$

Это абсцисса второй точки пересечения с осью $x$. Координата $y$ в этой точке равна нулю. Таким образом, вторая точка пересечения — это $(-6; 0)$.

Ответ: Парабола пересекает ось $x$ в еще одной точке с координатами $(-6; 0)$.