Номер 764, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

764. Легковой автомобиль проехал за 2 ч на 10 км больше, чем грузовой за 3 ч. Если уменьшить скорость легкового автомобиля на 25%, а грузового на 20%, то грузовой автомобиль проедет за 5 ч на 20 км больше, чем легковой за 3 ч. Найдите скорость каждого автомобиля.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $v_л$ (км/ч) — первоначальная скорость легкового автомобиля, а $v_г$ (км/ч) — первоначальная скорость грузового автомобиля.

Расстояние, которое легковой автомобиль проехал за 2 часа, равно $S_л = 2 \cdot v_л$. Расстояние, которое проехал грузовой автомобиль за 3 часа, равно $S_г = 3 \cdot v_г$.

По первому условию задачи, легковой автомобиль проехал на 10 км больше, чем грузовой. Это можно записать в виде уравнения:

$2v_л = 3v_г + 10$

Далее, рассмотрим второе условие. Скорость легкового автомобиля уменьшили на 25%. Новая скорость легкового автомобиля $v_л'$ составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от первоначальной:

$v_л' = v_л \cdot (1 - 0.25) = 0.75v_л$

Скорость грузового автомобиля уменьшили на 20%. Новая скорость грузового автомобиля $v_г'$ составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной:

$v_г' = v_г \cdot (1 - 0.20) = 0.8v_г$

При этих новых скоростях грузовой автомобиль за 5 часов проедет расстояние $S_г' = 5 \cdot v_г' = 5 \cdot (0.8v_г) = 4v_г$ км. А легковой автомобиль за 3 часа проедет расстояние $S_л' = 3 \cdot v_л' = 3 \cdot (0.75v_л) = 2.25v_л$ км.

Согласно второму условию, грузовой автомобиль проехал на 20 км больше, чем легковой. Составим второе уравнение:

$4v_г = 2.25v_л + 20$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 2v_л - 3v_г = 10 \\ 4v_г - 2.25v_л = 20 \end{cases}$

Для решения системы выразим $v_л$ из первого уравнения:

$2v_л = 3v_г + 10$

$v_л = \frac{3v_г + 10}{2} = 1.5v_г + 5$

Подставим полученное выражение для $v_л$ во второе уравнение системы:

$4v_г - 2.25(1.5v_г + 5) = 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_г$:

$4v_г - 3.375v_г - 11.25 = 20$

$0.625v_г = 20 + 11.25$

$0.625v_г = 31.25$

$v_г = \frac{31.25}{0.625} = 50$

Таким образом, первоначальная скорость грузового автомобиля составляет 50 км/ч.

Теперь найдем первоначальную скорость легкового автомобиля, подставив значение $v_г$ в выражение для $v_л$:

$v_л = 1.5 \cdot 50 + 5 = 75 + 5 = 80$

Первоначальная скорость легкового автомобиля составляет 80 км/ч.

Выполним проверку:

1. Расстояние легкового за 2 ч: $2 \cdot 80 = 160$ км. Расстояние грузового за 3 ч: $3 \cdot 50 = 150$ км. Разница: $160 - 150 = 10$ км. Первое условие выполняется.

2. Новая скорость легкового: $80 \cdot 0.75 = 60$ км/ч. Новая скорость грузового: $50 \cdot 0.8 = 40$ км/ч. Расстояние грузового за 5 ч: $5 \cdot 40 = 200$ км. Расстояние легкового за 3 ч: $3 \cdot 60 = 180$ км. Разница: $200 - 180 = 20$ км. Второе условие выполняется.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 50 км/ч.