Номер 770, страница 199 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 770, страница 199.

770. Решите систему уравнений способом подстановки:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y + 8 = xy, \\ y - 2x = 0; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 2x$

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (2x) + 8 = x(2x)$

3. Упростим и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 8 = 2x^2$

$2x^2 - x^2 - 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

4. Найдем соответствующие значения y, используя $y = 2x$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2 \cdot 4 = 8$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; 8), (-2; -4)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 16, \\ x + y = 8; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$y = 8 - x$

2. Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:

$x^2 - (8 - x)^2 = 16$

3. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$x^2 - (64 - 16x + x^2) = 16$

$x^2 - 64 + 16x - x^2 = 16$

$16x - 64 = 16$

$16x = 16 + 64$

$16x = 80$

$x = \frac{80}{16} = 5$

4. Найдем соответствующее значение y, используя $y = 8 - x$:

$y = 8 - 5 = 3$

Система имеет одно решение.

Ответ: $(5; 3)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 - xy + y^2 = 13; \end{cases} $$

1. Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 5 - x$

2. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - x(5 - x) + (5 - x)^2 = 13$

3. Раскроем скобки и упростим:

$x^2 - 5x + x^2 + (25 - 10x + x^2) = 13$

$3x^2 - 15x + 25 = 13$

$3x^2 - 15x + 12 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 4$.

5. Найдем соответствующие значения y, используя $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 5 - 1 = 4$.

Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 5 - 4 = 1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = 1, \\ 3y + x = 0; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим x через y:

$x = -3y$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(-3y)^2 + y^2 + 3(-3y)y = 1$

3. Упростим и решим полученное уравнение:

$9y^2 + y^2 - 9y^2 = 1$

$y^2 = 1$

Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

4. Найдем соответствующие значения x, используя $x = -3y$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -3 \cdot 1 = -3$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-3; 1), (3; -1)$.

д)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x^2 + 5x - 3y = -12, \\ 2y - 7x = 8; \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим y через x:

$2y = 7x + 8$

$y = \frac{7x + 8}{2}$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 + 5x - 3\left(\frac{7x + 8}{2}\right) = -12$

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$4x^2 + 10x - 3(7x + 8) = -24$

$4x^2 + 10x - 21x - 24 = -24$

$4x^2 - 11x = 0$

4. Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$x(4x - 11) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ или $4x - 11 = 0 \Rightarrow 4x = 11 \Rightarrow x_2 = \frac{11}{4}$.

5. Найдем соответствующие значения y, используя $y = \frac{7x + 8}{2}$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = \frac{7 \cdot 0 + 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Если $x_2 = \frac{11}{4}$, то $y_2 = \frac{7 \cdot \frac{11}{4} + 8}{2} = \frac{\frac{77}{4} + \frac{32}{4}}{2} = \frac{\frac{109}{4}}{2} = \frac{109}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0; 4), (\frac{11}{4}; \frac{109}{8})$.

е)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y^2 - 6x + y = 0, \\ 2x - \frac{1}{2}y = 1. \end{cases} $$

1. Из второго уравнения выразим x через y:

$2x = 1 + \frac{1}{2}y$

$x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$

2. Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - 6\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}y\right) + y = 0$

3. Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 3 - \frac{6}{4}y + y = 0$

$y^2 - 3 - \frac{3}{2}y + y = 0$

$y^2 - \frac{1}{2}y - 3 = 0$

4. Умножим уравнение на 2 и решим полученное квадратное уравнение:

$2y^2 - y - 6 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

5. Найдем соответствующие значения x, используя $x = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}y$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Если $y_2 = -\frac{3}{2}$, то $x_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{8}$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2), (\frac{1}{8}; -\frac{3}{2})$.