Номер 774, страница 200 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

774. Не выполняя построения, выясните, пересекаются ли парабола y = x² – x + 4 и гипербола y = $\frac{4}{x}$. Если пересекаются, то укажите координаты точек пересечения. Проиллюстрируйте решение с помощью графиков.

Для того чтобы выяснить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - x + 4$ и гипербола $y = \frac{4}{x}$, нужно найти их общие точки. Координаты точек пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому приравняем выражения для $y$:

$x^2 - x + 4 = \frac{4}{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения — все $x$, кроме $x=0$. Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$x(x^2 - x + 4) = 4$

$x^3 - x^2 + 4x = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$

Для решения этого уравнения применим метод группировки слагаемых:

$x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Теперь можно вынести общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^2 + 4) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2. $x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, существует только один действительный корень $x = 1$. Это означает, что графики данных функций пересекаются ровно в одной точке.

Чтобы найти полную координату точки пересечения, подставим найденное значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений. Например, в уравнение гиперболы:

$y = \frac{4}{1} = 4$

Следовательно, парабола и гипербола пересекаются в точке с координатами $(1, 4)$.

Для иллюстрации решения построим эскизы графиков обеих функций.Парабола $y = x^2 - x + 4$ имеет ветви, направленные вверх, а ее вершина находится в точке $(0.5, 3.75)$.Гипербола $y = \frac{4}{x}$ расположена в I и III координатных четвертях.На графике видно, что парабола пересекает ветвь гиперболы, расположенную в первой четверти.

Ответ: Да, парабола и гипербола пересекаются в одной точке с координатами $(1, 4)$.