Номер 780, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

780. Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?

Примем весь объем работы за 1.

Пусть первый рабочий может выполнить всю работу за $x$ дней, а второй — за $y$ дней. Тогда производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за один день) равна $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Когда они работают вместе, их общая производительность составляет $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. По условию, вместе они выполняют всю работу за 10 дней, следовательно, их совместная производительность равна $\frac{1}{10}$ работы в день. Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10}$

За 7 дней совместной работы рабочие выполнили часть работы, равную:

$7 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$

После этого осталась невыполненной следующая часть работы:

$1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

Эту оставшуюся часть работы второй рабочий выполнил один за 9 дней. Это означает, что его производительность $\frac{1}{y}$ умноженная на 9 дней, равна оставшейся части работы:

$9 \times \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$

Отсюда найдем $y$:

$\frac{9}{y} = \frac{3}{10}$

$3y = 90$

$y = 30$

Таким образом, второй рабочий может выполнить всю работу за 30 дней.

Теперь подставим значение $y = 30$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:

$\frac{1}{x} = \frac{3}{30} - \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$

$x = 15$

Следовательно, первый рабочий может выполнить всю работу за 15 дней.

Ответ: один рабочий мог выполнить всю работу за 15 дней, а второй — за 30 дней.