Номер 777, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 777, страница 201.

777. Если от числителя и знаменателя обыкновенной дроби отнять по единице, то дробь уменьшится на $\frac{1}{10}.$ Если же к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $\frac{1}{15}.$ Найдите эту дробь.

Пусть искомая обыкновенная дробь равна $ \frac{x}{y} $, где $x$ — целое число (числитель), а $y$ — натуральное число (знаменатель), $y \neq 0$.

Согласно первому условию задачи, если от числителя и знаменателя отнять по единице, то дробь уменьшится на $ \frac{1}{10} $. Математически это можно записать в виде уравнения:

$ \frac{x-1}{y-1} = \frac{x}{y} - \frac{1}{10} $

Выразим разницу между старой и новой дробью:

$ \frac{x}{y} - \frac{x-1}{y-1} = \frac{1}{10} $

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ y(y-1) $:

$ \frac{x(y-1) - y(x-1)}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{xy - x - xy + y}{y(y-1)} = \frac{1}{10} $

$ \frac{y-x}{y^2-y} = \frac{1}{10} $

Используя свойство пропорции, получим первое уравнение: $ 10(y-x) = y^2-y $.

Согласно второму условию, если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то дробь увеличится на $ \frac{1}{15} $. Запишем второе уравнение:

$ \frac{x+1}{y+1} = \frac{x}{y} + \frac{1}{15} $

Выразим разницу между новой и старой дробью:

$ \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{1}{15} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ y(y+1) $:

$ \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $

$ \frac{xy + y - xy - x}{y(y+1)} = \frac{1}{15} $

$ \frac{y-x}{y^2+y} = \frac{1}{15} $

Отсюда получаем второе уравнение: $ 15(y-x) = y^2+y $.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 10(y-x) = y^2-y \\ 15(y-x) = y^2+y \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ y-x $: $ y-x = \frac{y^2-y}{10} $.

Из второго уравнения также выразим $ y-x $: $ y-x = \frac{y^2+y}{15} $.

Так как левые части равны, то можем приравнять и правые части:

$ \frac{y^2-y}{10} = \frac{y^2+y}{15} $

Умножим обе части уравнения на 30 (наименьшее общее кратное для 10 и 15), чтобы избавиться от знаменателей:

$ 3(y^2-y) = 2(y^2+y) $

$ 3y^2 - 3y = 2y^2 + 2y $

Перенесем все члены в одну сторону:

$ 3y^2 - 2y^2 - 3y - 2y = 0 $

$ y^2 - 5y = 0 $

Вынесем $y$ за скобку:

$ y(y-5) = 0 $

Получаем два возможных значения для $y$: $ y=0 $ или $ y=5 $.

По определению дроби, ее знаменатель не может быть равен нулю ($y \neq 0$). Также из условий задачи следует, что $y-1 \neq 0$ и $y+1 \neq 0$, то есть $y \neq 1$ и $y \neq -1$. Таким образом, единственное подходящее значение — это $y=5$.

Теперь найдем $x$, подставив $y=5$ в любое из полученных ранее выражений. Например, в $ 10(y-x) = y^2-y $:

$ 10(5-x) = 5^2 - 5 $

$ 10(5-x) = 25 - 5 $

$ 10(5-x) = 20 $

$ 5-x = \frac{20}{10} $

$ 5-x = 2 $

$ x = 5-2 = 3 $

Следовательно, искомая дробь — это $ \frac{3}{5} $.

Проведем проверку:

1. Исходная дробь $ \frac{3}{5} $. Отнимем 1 от числителя и знаменателя: $ \frac{3-1}{5-1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $. Проверим, уменьшилась ли дробь на $ \frac{1}{10} $: $ \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6-5}{10} = \frac{1}{10} $. Условие выполнено.

2. Прибавим 1 к числителю и знаменателю: $ \frac{3+1}{5+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $. Проверим, увеличилась ли дробь на $ \frac{1}{15} $: $ \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15} $. Условие также выполнено.

Ответ: $ \frac{3}{5} $.