Номер 783, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 783, страница 201.

783. В арифметической прогрессии четырнадцатый член равен 140, а сумма первых четырнадцати членов равна 1050. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

Для решения задачи обозначим искомые величины: $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, $d$ — её разность.

Согласно условию, нам даны:
- Четырнадцатый член прогрессии: $a_{14} = 140$
- Сумма первых четырнадцати членов: $S_{14} = 1050$

Первый член

Чтобы найти первый член прогрессии ($a_1$), мы можем использовать формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая связывает сумму, первый и последний члены:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения, где $n=14$:

$1050 = \frac{a_1 + 140}{2} \cdot 14$

Для упрощения вычислений, сократим 14 и 2 в правой части уравнения:

$1050 = (a_1 + 140) \cdot 7$

Теперь разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{1050}{7} = a_1 + 140$

$150 = a_1 + 140$

Из этого уравнения легко найти $a_1$:

$a_1 = 150 - 140 = 10$

Ответ: первый член прогрессии равен 10.

Разность прогрессии

Теперь, когда мы знаем первый член $a_1$, мы можем найти разность прогрессии $d$. Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в неё известные нам значения $a_{14} = 140$, $a_1 = 10$ и $n = 14$:

$140 = 10 + (14-1)d$

$140 = 10 + 13d$

Перенесем 10 в левую часть уравнения (сменив знак):

$140 - 10 = 13d$

$130 = 13d$

Теперь найдем $d$, разделив 130 на 13:

$d = \frac{130}{13} = 10$

Ответ: разность прогрессии равна 10.