Номер 781, страница 201 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. § 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 781, страница 201.

781. Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы?

Для решения задачи примем весь объем работы за 1.

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первый рабочий может выполнить всю работу самостоятельно, а $y$ — количество дней, за которое второй рабочий может выполнить всю работу самостоятельно.

Тогда производительность труда (часть работы, выполняемая за один день) первого рабочего составляет $\frac{1}{x}$, а второго — $\frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что, работая вместе, они выполнили всю работу за 2 дня. Их совместная производительность равна $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})$. Составим первое уравнение на основе формулы "Работа = Производительность ? Время":
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 2 = 1$
$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1$

Из второго условия известно, что если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй — 1 день, то было бы сделано $\frac{5}{6}$ всей работы. Составим второе уравнение:
$\frac{1}{x} \cdot 2 + \frac{1}{y} \cdot 1 = \frac{5}{6}$
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно вычесть второе уравнение из первого:
$(\frac{2}{x} + \frac{2}{y}) - (\frac{2}{x} + \frac{1}{y}) = 1 - \frac{5}{6}$
$\frac{2}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{y} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6}$
$\frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Из этого следует, что $y = 6$.

Теперь, зная значение $y$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Возьмем второе уравнение:
$\frac{2}{x} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Перенесем $\frac{1}{6}$ в правую часть:
$\frac{2}{x} = \frac{5}{6} - \frac{1}{6}$
$\frac{2}{x} = \frac{4}{6}$
Упростим дробь в правой части:
$\frac{2}{x} = \frac{2}{3}$
Из этого следует, что $x = 3$.

Таким образом, первому рабочему для выполнения всей работы в одиночку потребуется 3 дня, а второму рабочему — 6 дней.

Ответ: первому рабочему нужно 3 дня на выполнение всей работы, второму — 6 дней.