Номер 788, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 788, страница 202.

Условие.

788. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $a_n$ — это заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи нам известны третий и тринадцатый члены прогрессии:
$a_3 = 150$
$a_{13} = 110$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши данные, получим систему из двух уравнений:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 150$
$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d = 110$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 12d) - (a_1 + 2d) = 110 - 150$
$10d = -40$
$d = -4$

Теперь найдем первый член $a_1$, подставив значение $d = -4$ в первое уравнение системы:
$a_1 + 2(-4) = 150$
$a_1 - 8 = 150$
$a_1 = 158$

Нам нужно найти количество членов прогрессии $n$, сумма которых $S_n$ равна нулю. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 158$, $d = -4$ и приравняем сумму к нулю:
$S_n = \frac{2 \cdot 158 + (n-1)(-4)}{2} \cdot n = 0$
$\frac{316 - 4n + 4}{2} \cdot n = 0$
$\frac{320 - 4n}{2} \cdot n = 0$
$(160 - 2n) \cdot n = 0$

Это уравнение имеет два корня: $n = 0$ или $160 - 2n = 0$.
Поскольку количество членов прогрессии не может быть равно нулю, мы рассматриваем только второй случай:
$160 - 2n = 0$
$2n = 160$
$n = 80$

Ответ: 80