Номер 795, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 795, страница 202.

Условие.

795. В геометрической прогрессии (bₙ), знаменатель которой положителен, b₁ ∙ b₂ = $\frac{1}{27}$, а b₃ ∙ b₄ = 3. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии $(b_n)$, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, знаменатель $q$ положителен, то есть $q > 0$.

Из условия нам даны два равенства:

$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27}$

$b_3 \cdot b_4 = 3$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, выразим $b_2$, $b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходные равенства, получив систему уравнений:

$\begin{cases}b_1 \cdot (b_1 q) = \frac{1}{27} \\(b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) = 3\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases}b_1^2 q = \frac{1}{27} & (1) \\b_1^2 q^5 = 3 & (2)\end{cases}$

Для того чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}}$

Сократив $b_1^2$ и $q$, получаем:

$q^4 = 3 \cdot 27 = 81$

Так как по условию $q > 0$, то $q = \sqrt[4]{81} = 3$.

Теперь найдём $b_1$, подставив значение $q=3$ в уравнение (1):

$b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27}$

$b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Отсюда $b_1 = \frac{1}{9}$ или $b_1 = -\frac{1}{9}$. Оба варианта дают прогрессии, удовлетворяющие условию. Однако, формулировка задачи в единственном числе ("этой прогрессии") обычно предполагает выбор основного, положительного случая. Возьмем $b_1 = \frac{1}{9}$.

Нам нужно найти сумму первых четырёх членов прогрессии, $S_4$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{9}$, $q=3$ и $n=4$:

$S_4 = \frac{\frac{1}{9}(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{9}(81 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 80}{2} = \frac{80}{9 \cdot 2} = \frac{40}{9}$.

Сумму можно также найти, сложив первые четыре члена прогрессии:

$b_1 = \frac{1}{9}$

$b_2 = b_1 q = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$

$b_3 = b_1 q^2 = \frac{1}{9} \cdot 3^2 = 1$

$b_4 = b_1 q^3 = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = 3$

$S_4 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{27}{9} = \frac{1+3+9+27}{9} = \frac{40}{9}$.

Ответ: $\frac{40}{9}$