Номер 791, страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 791, страница 202.

Условие.

791. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₆ = $\frac{1}{2}$ и q = $\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии ($S_6$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В условии задачи нам даны шестой член прогрессии $b_6 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Количество членов для суммирования $n = 6$. Для использования формулы суммы нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные данные для шестого члена ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим числовые значения $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$ в это уравнение:

$\frac{1}{2} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^5$

Вычислим $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

$\frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32}$

Выразим из этого уравнения $b_1$:

$b_1 = \frac{1}{2} \div \frac{1}{32} = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{1} = \frac{32}{2} = 16$

Теперь, зная $b_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=6$, мы можем вычислить сумму первых шести членов $S_6$:

$S_6 = \frac{b_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{16 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе:

$1 - (\frac{1}{2})^6 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения обратно в формулу суммы:

$S_6 = \frac{16 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение:

$S_6 = \frac{\frac{16 \cdot 63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{63}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:

$S_6 = \frac{63}{2} = 31,5$

Ответ: $31,5$.