Страница 202 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

788. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Пусть $a_n$ — это заданная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи нам известны третий и тринадцатый члены прогрессии:
$a_3 = 150$
$a_{13} = 110$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши данные, получим систему из двух уравнений:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 150$
$a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d = 110$

Для нахождения разности $d$ вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 12d) - (a_1 + 2d) = 110 - 150$
$10d = -40$
$d = -4$

Теперь найдем первый член $a_1$, подставив значение $d = -4$ в первое уравнение системы:
$a_1 + 2(-4) = 150$
$a_1 - 8 = 150$
$a_1 = 158$

Нам нужно найти количество членов прогрессии $n$, сумма которых $S_n$ равна нулю. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные значения $a_1 = 158$, $d = -4$ и приравняем сумму к нулю:
$S_n = \frac{2 \cdot 158 + (n-1)(-4)}{2} \cdot n = 0$
$\frac{316 - 4n + 4}{2} \cdot n = 0$
$\frac{320 - 4n}{2} \cdot n = 0$
$(160 - 2n) \cdot n = 0$

Это уравнение имеет два корня: $n = 0$ или $160 - 2n = 0$.
Поскольку количество членов прогрессии не может быть равно нулю, мы рассматриваем только второй случай:
$160 - 2n = 0$
$2n = 160$
$n = 80$

Ответ: 80

789. Последовательность (xₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите:

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии $(x_n)$ имеет вид:

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$

где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию нам даны восьмой член прогрессии $x_8 = -128$ и её знаменатель $q = -4$. Требуется найти первый член $x_1$.

Используем формулу n-го члена для $n=8$:

$x_8 = x_1 \cdot q^{8-1} = x_1 \cdot q^7$

Подставим известные значения в формулу:

$-128 = x_1 \cdot (-4)^7$

Сначала вычислим $(-4)^7$:

$(-4)^7 = -(4^7) = -( (2^2)^7 ) = -2^{14} = -16384$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$-128 = x_1 \cdot (-16384)$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{-128}{-16384} = \frac{128}{16384}$

Для упрощения дроби представим числитель и знаменатель как степени двойки:

$128 = 2^7$

$16384 = 2^{14}$

Тогда:

$x_1 = \frac{2^7}{2^{14}} = 2^{7-14} = 2^{-7} = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{128}$.

По условию нам даны первый член прогрессии $x_1 = 162$ и девятый член $x_9 = 2$. Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена для $n=9$:

$x_9 = x_1 \cdot q^{9-1} = x_1 \cdot q^8$

Подставим известные значения в формулу:

$2 = 162 \cdot q^8$

Выразим $q^8$:

$q^8 = \frac{2}{162} = \frac{1}{81}$

Теперь нужно найти $q$, извлекая корень восьмой степени из обеих частей уравнения. Поскольку степень корня (8) чётная, возможны два действительных решения (положительное и отрицательное).

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{81}}$

Упростим выражение под корнем, зная, что $81 = 3^4$:

$q = \pm \sqrt[8]{\frac{1}{3^4}} = \pm \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\frac{1}{8}} = \pm \frac{1}{3^{4/8}} = \pm \frac{1}{3^{1/2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Также можно рационализировать знаменатель:

$q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $q = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

790. Найдите пятый член геометрической прогрессии (bₙ), если известно, что b₁ = 6 и b₃ = $\frac{2}{3}$.

Для нахождения пятого члена геометрической прогрессии $(b_n)$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

По условию задачи даны первый и третий члены прогрессии:

$b_1 = 6$

$b_3 = \frac{2}{3}$

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.

Для этого запишем формулу для третьего члена прогрессии:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим в неё известные значения $b_1$ и $b_3$:

$\frac{2}{3} = 6 \cdot q^2$

Теперь выразим из этого уравнения $q^2$:

$q^2 = \frac{2/3}{6} = \frac{2}{3 \cdot 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

2. Найдём пятый член прогрессии $b_5$.

Запишем формулу для пятого члена прогрессии:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Мы можем выразить $q^4$ через $q^2$, которое уже было найдено:

$q^4 = (q^2)^2 = (\frac{1}{9})^2 = \frac{1}{81}$

Теперь подставим значения $b_1 = 6$ и $q^4 = \frac{1}{81}$ в формулу для $b_5$:

$b_5 = 6 \cdot \frac{1}{81} = \frac{6}{81}$

Сократим полученную дробь на 3:

$b_5 = \frac{6 \div 3}{81 \div 3} = \frac{2}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27}$

791. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой b₆ = $\frac{1}{2}$ и q = $\frac{1}{2}$.

Для нахождения суммы первых шести членов геометрической прогрессии ($S_6$) воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

В условии задачи нам даны шестой член прогрессии $b_6 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Количество членов для суммирования $n = 6$. Для использования формулы суммы нам необходимо сначала найти первый член прогрессии $b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим известные данные для шестого члена ($n=6$):

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим числовые значения $b_6 = \frac{1}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$ в это уравнение:

$\frac{1}{2} = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^5$

Вычислим $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$.

$\frac{1}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{32}$

Выразим из этого уравнения $b_1$:

$b_1 = \frac{1}{2} \div \frac{1}{32} = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{1} = \frac{32}{2} = 16$

Теперь, зная $b_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=6$, мы можем вычислить сумму первых шести членов $S_6$:

$S_6 = \frac{b_1(1-q^6)}{1-q} = \frac{16 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим значения в числителе и знаменателе:

$1 - (\frac{1}{2})^6 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения обратно в формулу суммы:

$S_6 = \frac{16 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}$

Упростим выражение:

$S_6 = \frac{\frac{16 \cdot 63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{63 \cdot 2}{4} = \frac{63}{2}$

Результат можно представить в виде десятичной дроби:

$S_6 = \frac{63}{2} = 31,5$

Ответ: $31,5$.

792. Пятый член геометрической прогрессии (bₙ) равен 1$\frac{1}{2}$, а знаменатель прогрессии равен -$\frac{1}{2}$. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

По условию задачи дан пятый член геометрической прогрессии $b_5 = 1\frac{1}{2}$ и ее знаменатель $q = -\frac{1}{2}$. Необходимо найти сумму первых пяти членов прогрессии $S_5$.

Решение:

1. Сначала найдем первый член прогрессии $b_1$. Для этого воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=5$ формула примет вид: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$.

Переведем заданный пятый член из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $b_1$:

$\frac{3}{2} = b_1 \cdot (-\frac{1}{2})^4$

$\frac{3}{2} = b_1 \cdot \frac{1}{16}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = \frac{3}{2} \div \frac{1}{16} = \frac{3}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8 = 24$.

2. Теперь, зная первый член $b_1 = 24$, знаменатель $q = -\frac{1}{2}$ и количество членов $n=5$, мы можем вычислить сумму первых пяти членов прогрессии по формуле:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставим наши значения в формулу:

$S_5 = \frac{24 \cdot (1 - (-\frac{1}{2})^5)}{1 - (-\frac{1}{2})}$

Проведем вычисления поэтапно. Сначала вычислим степень знаменателя:

$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1}{32}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для суммы:

$S_5 = \frac{24 \cdot (1 - (-\frac{1}{32}))}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{24 \cdot (1 + \frac{1}{32})}{\frac{3}{2}} = \frac{24 \cdot \frac{33}{32}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$S_5 = 24 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим полученное выражение:

$S_5 = \frac{24 \cdot 33 \cdot 2}{32 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 3 \cdot 33 \cdot 2}{16 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{8 \cdot 33}{16} = \frac{33}{2}$

Переведем неправильную дробь в смешанное число:

$S_5 = \frac{33}{2} = 16\frac{1}{2}$

Ответ: $16\frac{1}{2}$.

793. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (b_n), если известно, что все члены последовательности положительны и b₃ = 20, а b₅ = 80.

Пусть $(b_n)$ — это данная геометрическая прогрессия, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи нам известны третий и пятый члены прогрессии: $b_3 = 20$ и $b_5 = 80$.

Связь между любыми двумя членами геометрической прогрессии $b_m$ и $b_k$ выражается формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$. Воспользуемся этой формулой для $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения и найдем знаменатель прогрессии $q$:

$80 = 20 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{80}{20} = 4$

Это уравнение имеет два корня: $q = 2$ и $q = -2$. Однако в условии сказано, что все члены последовательности положительны. Если бы знаменатель был отрицательным ($q = -2$), то знаки членов прогрессии чередовались бы, и они не могли бы быть все положительными. Следовательно, знаменатель прогрессии должен быть положительным, поэтому мы выбираем $q = 2$.

Теперь, зная знаменатель $q$, найдем первый член прогрессии $b_1$, используя значение $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$20 = b_1 \cdot 2^2$

$20 = b_1 \cdot 4$

$b_1 = \frac{20}{4} = 5$

Нам необходимо найти сумму первых семи членов прогрессии ($S_7$). Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в эту формулу найденные значения $b_1 = 5$, $q = 2$ и $n = 7$:

$S_7 = \frac{5(2^7 - 1)}{2 - 1}$

Вычислим $2^7 = 128$.

$S_7 = \frac{5(128 - 1)}{1} = 5 \cdot 127 = 635$

Ответ: 635.

794. Последовательность (bₙ) — геометрическая прогрессия. Найдите первые три члена этой прогрессии, если известно, что b₁ + b₂ = 30, а b₂ + b₃ = 20.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на знаменатель:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_2 \cdot q = (b_1 \cdot q) \cdot q = b_1 \cdot q^2$

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} b_1 + b_2 = 30 \\ b_2 + b_3 = 20 \end{cases} $

Подставим в эту систему выражения для $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:

$ \begin{cases} b_1 + b_1 \cdot q = 30 \\ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 20 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом из уравнений:

$ \begin{cases} b_1(1 + q) = 30 & (1) \\ b_1q(1 + q) = 20 & (2) \end{cases} $

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это допустимо, поскольку из уравнения (1) следует, что $b_1(1 + q) \ne 0$.

$\frac{b_1q(1 + q)}{b_1(1 + q)} = \frac{20}{30}$

Сократив общие множители $b_1$ и $(1 + q)$, получим значение знаменателя $q$:

$q = \frac{2}{3}$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив найденное значение $q$ в уравнение (1):

$b_1(1 + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1(\frac{3}{3} + \frac{2}{3}) = 30$

$b_1 \cdot \frac{5}{3} = 30$

$b_1 = 30 \cdot \frac{3}{5}$

$b_1 = 18$

Зная первый член и знаменатель прогрессии, найдем второй и третий члены:

$b_2 = b_1 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$

$b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

Таким образом, первые три члена прогрессии: 18, 12, 8.

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условиям задачи:

$b_1 + b_2 = 18 + 12 = 30$ (верно)

$b_2 + b_3 = 12 + 8 = 20$ (верно)

Ответ: первые три члена прогрессии равны 18, 12 и 8.

795. В геометрической прогрессии (bₙ), знаменатель которой положителен, b₁ ∙ b₂ = $\frac{1}{27}$, а b₃ ∙ b₄ = 3. Найдите сумму первых четырёх членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии $(b_n)$, а $q$ — её знаменатель. По условию задачи, знаменатель $q$ положителен, то есть $q > 0$.

Из условия нам даны два равенства:

$b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{27}$

$b_3 \cdot b_4 = 3$

Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, выразим $b_2$, $b_3$ и $b_4$ через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 q$

$b_3 = b_1 q^2$

$b_4 = b_1 q^3$

Подставим эти выражения в исходные равенства, получив систему уравнений:

$\begin{cases}b_1 \cdot (b_1 q) = \frac{1}{27} \\(b_1 q^2) \cdot (b_1 q^3) = 3\end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases}b_1^2 q = \frac{1}{27} & (1) \\b_1^2 q^5 = 3 & (2)\end{cases}$

Для того чтобы найти $q$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{b_1^2 q^5}{b_1^2 q} = \frac{3}{\frac{1}{27}}$

Сократив $b_1^2$ и $q$, получаем:

$q^4 = 3 \cdot 27 = 81$

Так как по условию $q > 0$, то $q = \sqrt[4]{81} = 3$.

Теперь найдём $b_1$, подставив значение $q=3$ в уравнение (1):

$b_1^2 \cdot 3 = \frac{1}{27}$

$b_1^2 = \frac{1}{27 \cdot 3} = \frac{1}{81}$

Отсюда $b_1 = \frac{1}{9}$ или $b_1 = -\frac{1}{9}$. Оба варианта дают прогрессии, удовлетворяющие условию. Однако, формулировка задачи в единственном числе ("этой прогрессии") обычно предполагает выбор основного, положительного случая. Возьмем $b_1 = \frac{1}{9}$.

Нам нужно найти сумму первых четырёх членов прогрессии, $S_4$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$

Подставим известные значения $b_1 = \frac{1}{9}$, $q=3$ и $n=4$:

$S_4 = \frac{\frac{1}{9}(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{\frac{1}{9}(81 - 1)}{2} = \frac{\frac{1}{9} \cdot 80}{2} = \frac{80}{9 \cdot 2} = \frac{40}{9}$.

Сумму можно также найти, сложив первые четыре члена прогрессии:

$b_1 = \frac{1}{9}$

$b_2 = b_1 q = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{1}{3}$

$b_3 = b_1 q^2 = \frac{1}{9} \cdot 3^2 = 1$

$b_4 = b_1 q^3 = \frac{1}{9} \cdot 3^3 = 3$

$S_4 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{27}{9} = \frac{1+3+9+27}{9} = \frac{40}{9}$.

Ответ: $\frac{40}{9}$

796. Оцените периметр P и площадь S прямоугольника, длины сторон которого a см и b см, если 14,3 ≤ a ≤ 14,4 и 25,1 ≤ b ≤ 25,2.

периметр P

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Чтобы найти оценку для периметра, сначала сложим почленно данные неравенства для сторон $a$ и $b$:

$14,3 \le a \le 14,4$

$25,1 \le b \le 25,2$

Сложение неравенств дает:

$14,3 + 25,1 \le a + b \le 14,4 + 25,2$

$39,4 \le a + b \le 39,6$

Теперь умножим все части полученного неравенства на 2, чтобы найти границы для $P$:

$2 \cdot 39,4 \le 2(a + b) \le 2 \cdot 39,6$

Таким образом, получаем оценку для периметра:

$78,8 \le P \le 79,2$

Ответ: $78,8 \le P \le 79,2$ (см).

площадь S

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Так как все значения в неравенствах для $a$ и $b$ положительны, мы можем их почленно перемножить, чтобы найти оценку для площади:

$14,3 \cdot 25,1 \le a \cdot b \le 14,4 \cdot 25,2$

Выполнив вычисления, получаем:

$358,93 \le S \le 362,88$

Ответ: $358,93 \le S \le 362,88$ (см?).

797. Пользуясь тем, что 2,6 ‹ 7 ‹ 2,7 и 2,2 ‹ 5 ‹ 2,3, оцените значение выражения:

а)

Чтобы оценить значение суммы $\sqrt{7} + \sqrt{5}$, воспользуемся свойством сложения неравенств. У нас есть два заданных неравенства:

$2,6 < \sqrt{7} < 2,7$

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

Поскольку неравенства одного знака, мы можем их почленно сложить (левую часть с левой, правую с правой):

$2,6 + 2,2 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 2,7 + 2,3$

Выполнив сложение, получаем итоговое неравенство:

$4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0$

Ответ: $4,8 < \sqrt{7} + \sqrt{5} < 5,0$.

б)

Чтобы оценить значение разности $\sqrt{7} - \sqrt{5}$, мы должны из неравенства для $\sqrt{7}$ вычесть неравенство для $\sqrt{5}$. Операция вычитания неравенств выполняется путем сложения с противоположным числом. Сначала преобразуем неравенство $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$. Умножим все его части на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-2,2 > -\sqrt{5} > -2,3$

Для удобства сложения перепишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-2,3 < -\sqrt{5} < -2,2$

Теперь сложим полученное неравенство с первым исходным неравенством $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$:

$2,6 + (-2,3) < \sqrt{7} + (-\sqrt{5}) < 2,7 + (-2,2)$

Выполнив вычисления, получаем:

$0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5$

Ответ: $0,3 < \sqrt{7} - \sqrt{5} < 0,5$.

в)

Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{35}$, представим его в виде произведения корней, используя свойство корней $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:

$\sqrt{35} = \sqrt{7 \cdot 5} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5}$

Теперь воспользуемся свойством умножения неравенств. Так как все части исходных неравенств $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ и $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ являются положительными числами, мы можем их почленно перемножить:

$2,6 \cdot 2,2 < \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} < 2,7 \cdot 2,3$

Выполнив умножение в левой и правой частях, получаем:

$5,72 < \sqrt{35} < 6,21$

Ответ: $5,72 < \sqrt{35} < 6,21$.

798. Решите неравенство:

а) $0,3(2m - 3) < 3(0,6m + 1,3)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства, умножив множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобки:

$0,3 \cdot 2m - 0,3 \cdot 3 < 3 \cdot 0,6m + 3 \cdot 1,3$

$0,6m - 0,9 < 1,8m + 3,9$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $m$ в одной части неравенства, а постоянные члены — в другой. Перенесем $0,6m$ в правую часть, а $3,9$ — в левую, меняя их знаки при переносе:

$-0,9 - 3,9 < 1,8m - 0,6m$

Выполним вычисления в обеих частях:

$-4,8 < 1,2m$

Чтобы найти $m$, разделим обе части неравенства на $1,2$. Так как $1,2$ — положительное число, знак неравенства не меняется:

$m > \frac{-4,8}{1,2}$

$m > -4$

Ответ: $m > -4$

б) $1,1(5x - 4) > 0,2(10x - 43)$

Раскроем скобки:

$1,1 \cdot 5x - 1,1 \cdot 4 > 0,2 \cdot 10x - 0,2 \cdot 43$

$5,5x - 4,4 > 2x - 8,6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$5,5x - 2x > -8,6 + 4,4$

Приведем подобные слагаемые:

$3,5x > -4,2$

Разделим обе части на $3,5$:

$x > \frac{-4,2}{3,5}$

$x > -1,2$

Ответ: $x > -1,2$

в) $10 - 5(0,3a - 0,2) \ge 5 - 10(0,1a + 0,2)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$10 - 5 \cdot 0,3a - 5 \cdot (-0,2) \ge 5 - 10 \cdot 0,1a - 10 \cdot 0,2$

$10 - 1,5a + 1 \ge 5 - a - 2$

Упростим обе части:

$11 - 1,5a \ge 3 - a$

Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$11 - 3 \ge -a + 1,5a$

$8 \ge 0,5a$

Разделим обе части на $0,5$ (что эквивалентно умножению на 2):

$16 \ge a$

Ответ: $a \le 16$

г) $3,2(2b + 1) + 5,7 \le 7,3 - 1,6(3 - 5b)$

Раскроем скобки:

$3,2 \cdot 2b + 3,2 \cdot 1 + 5,7 \le 7,3 - 1,6 \cdot 3 - 1,6 \cdot (-5b)$

$6,4b + 3,2 + 5,7 \le 7,3 - 4,8 + 8b$

Упростим обе части:

$6,4b + 8,9 \le 2,5 + 8b$

Перенесем слагаемые с переменной $b$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$8,9 - 2,5 \le 8b - 6,4b$

$6,4 \le 1,6b$

Разделим обе части на $1,6$:

$\frac{6,4}{1,6} \le b$

$4 \le b$

Ответ: $b \ge 4$

д) $4,3x - \frac{1}{2}(2,8x - 0,6) > \frac{1}{3}(3x + 0,6) + 2,9x$

Раскроем скобки, умножая дроби на выражения в них:

$4,3x - \frac{1}{2} \cdot 2,8x + \frac{1}{2} \cdot 0,6 > \frac{1}{3} \cdot 3x + \frac{1}{3} \cdot 0,6 + 2,9x$

$4,3x - 1,4x + 0,3 > x + 0,2 + 2,9x$

Упростим обе части, приведя подобные слагаемые:

$2,9x + 0,3 > 3,9x + 0,2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$0,3 - 0,2 > 3,9x - 2,9x$

$0,1 > x$

Ответ: $x < 0,1$

е) $\frac{2}{5}(5,5m - 2) - 0,8m < 4,6m - \frac{3}{4}(3,6m - 1,6)$

Для удобства вычислений преобразуем обыкновенные дроби в десятичные: $\frac{2}{5} = 0,4$ и $\frac{3}{4} = 0,75$.

$0,4(5,5m - 2) - 0,8m < 4,6m - 0,75(3,6m - 1,6)$

Раскроем скобки:

$0,4 \cdot 5,5m - 0,4 \cdot 2 - 0,8m < 4,6m - 0,75 \cdot 3,6m - 0,75 \cdot (-1,6)$

$2,2m - 0,8 - 0,8m < 4,6m - 2,7m + 1,2$

Упростим обе части:

$1,4m - 0,8 < 1,9m + 1,2$

Перенесем слагаемые с $m$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$-0,8 - 1,2 < 1,9m - 1,4m$

$-2 < 0,5m$

Разделим обе части на $0,5$:

$\frac{-2}{0,5} < m$

$-4 < m$

Ответ: $m > -4$

ж) $(2,1y + 2)(0,2y - 3) - (0,7y - 1)(0,6y + 4) \ge -83$

Раскроем скобки, перемножив многочлены ("фонтанчиком"):

$(0,42y^2 - 6,3y + 0,4y - 6) - (0,42y^2 + 2,8y - 0,6y - 4) \ge -83$

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$(0,42y^2 - 5,9y - 6) - (0,42y^2 + 2,2y - 4) \ge -83$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$0,42y^2 - 5,9y - 6 - 0,42y^2 - 2,2y + 4 \ge -83$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожаются:

$(0,42y^2 - 0,42y^2) + (-5,9y - 2,2y) + (-6 + 4) \ge -83$

$-8,1y - 2 \ge -83$

Перенесем $-2$ в правую часть:

$-8,1y \ge -83 + 2$

$-8,1y \ge -81$

Разделим обе части на $-8,1$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \le \frac{-81}{-8,1}$

$y \le 10$

Ответ: $y \le 10$

з) $(1 - 3,6a)(0,2a + 3) + (4 + 0,9a)(0,8a + 10) \le 42,2$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(0,2a + 3 - 0,72a^2 - 10,8a) + (3,2a + 40 + 0,72a^2 + 9a) \le 42,2$

Приведем подобные слагаемые в каждой группе:

$(-0,72a^2 - 10,6a + 3) + (0,72a^2 + 12,2a + 40) \le 42,2$

Сложим полученные многочлены. Слагаемые с $a^2$ взаимно уничтожаются:

$(-0,72a^2 + 0,72a^2) + (-10,6a + 12,2a) + (3 + 40) \le 42,2$

$1,6a + 43 \le 42,2$

Перенесем $43$ в правую часть:

$1,6a \le 42,2 - 43$

$1,6a \le -0,8$

Разделим обе части на $1,6$:

$a \le \frac{-0,8}{1,6}$

$a \le -0,5$

Ответ: $a \le -0,5$