Страница 203 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

799. Решите неравенство:

а)

Дано неравенство: $\frac{4,2 + 2x}{3} > 1,5x - 1,1$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 3:

$3 \cdot \frac{4,2 + 2x}{3} > 3 \cdot (1,5x - 1,1)$

$4,2 + 2x > 4,5x - 3,3$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $2x$ вправо, а $-3,3$ влево, изменив их знаки при переносе:

$4,2 + 3,3 > 4,5x - 2x$

$7,5 > 2,5x$

Разделим обе части неравенства на 2,5. Так как 2,5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$\frac{7,5}{2,5} > x$

$3 > x$

Запишем решение в стандартном виде: $x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б)

Дано неравенство: $2,3a + 0,8 < \frac{5,8a + 3,4}{2}$.
Умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot (2,3a + 0,8) < 5,8a + 3,4$

$4,6a + 1,6 < 5,8a + 3,4$

Сгруппируем слагаемые с переменной $a$ и свободные члены по разным сторонам неравенства:

$1,6 - 3,4 < 5,8a - 4,6a$

$-1,8 < 1,2a$

Разделим обе части на 1,2 (положительное число), знак неравенства не изменится:

$\frac{-1,8}{1,2} < a$

$-1,5 < a$

Запишем решение в стандартном виде: $a > -1,5$.
Ответ: $a \in (-1,5; +\infty)$.

в)

Дано неравенство: $\frac{0,5 - 5y}{6} \ge \frac{0,6 - 5y}{4}$.
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Умножим обе части неравенства на 12:

$12 \cdot \frac{0,5 - 5y}{6} \ge 12 \cdot \frac{0,6 - 5y}{4}$

$2(0,5 - 5y) \ge 3(0,6 - 5y)$

Раскроем скобки:

$1 - 10y \ge 1,8 - 15y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в левой части, а свободные члены — в правой:

$15y - 10y \ge 1,8 - 1$

$5y \ge 0,8$

Разделим обе части на 5:

$y \ge \frac{0,8}{5}$

$y \ge 0,16$
Ответ: $y \in [0,16; +\infty)$.

г)

Дано неравенство: $\frac{0,6m + 1,2}{12} \le \frac{1,5m - 2,5}{15}$.
Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 12 и 15. НОК(12, 15) = 60. Умножим обе части неравенства на 60:

$60 \cdot \frac{0,6m + 1,2}{12} \le 60 \cdot \frac{1,5m - 2,5}{15}$

$5(0,6m + 1,2) \le 4(1,5m - 2,5)$

Раскроем скобки:

$3m + 6 \le 6m - 10$

Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ и свободные члены:

$6 + 10 \le 6m - 3m$

$16 \le 3m$

Разделим обе части на 3:

$\frac{16}{3} \le m$

Запишем решение в стандартном виде: $m \ge \frac{16}{3}$.
Ответ: $m \in [\frac{16}{3}; +\infty)$.

д)

Дано неравенство: $\frac{1,3a - 0,7}{4} - \frac{0,9a + 0,3}{3} > 0$.
Перенесем вторую дробь в правую часть неравенства, изменив знак:

$\frac{1,3a - 0,7}{4} > \frac{0,9a + 0,3}{3}$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 12 (НОК(4, 3) = 12):

$12 \cdot \frac{1,3a - 0,7}{4} > 12 \cdot \frac{0,9a + 0,3}{3}$

$3(1,3a - 0,7) > 4(0,9a + 0,3)$

Раскроем скобки:

$3,9a - 2,1 > 3,6a + 1,2$

Сгруппируем слагаемые:

$3,9a - 3,6a > 1,2 + 2,1$

$0,3a > 3,3$

Разделим обе части на 0,3:

$a > \frac{3,3}{0,3}$

$a > 11$
Ответ: $a \in (11; +\infty)$.

е)

Дано неравенство: $\frac{1,6 - 0,3y}{2} + \frac{4,4 + 1,5y}{5} < -4,05y$.
Найдем наименьший общий знаменатель дробей в левой части, НОК(2, 5) = 10. Умножим все члены неравенства на 10:

$10 \cdot \left(\frac{1,6 - 0,3y}{2} + \frac{4,4 + 1,5y}{5}\right) < 10 \cdot (-4,05y)$

$5(1,6 - 0,3y) + 2(4,4 + 1,5y) < -40,5y$

Раскроем скобки:

$8 - 1,5y + 8,8 + 3y < -40,5y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$16,8 + 1,5y < -40,5y$

Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$1,5y + 40,5y < -16,8$

$42y < -16,8$

Разделим обе части на 42:

$y < \frac{-16,8}{42}$

$y < -0,4$
Ответ: $y \in (-\infty; -0,4)$.

800. При каких значениях b:

а) значение дроби $\frac{12-1,5b}{5}$ меньше соответствующего значения дроби $\frac{11-0,5b}{2};$

б) значение дроби $\frac{1,4+b}{4}$ больше соответствующего значения дроби $\frac{2,6+3b}{2};$

в) значение дроби $\frac{6b-1}{b}$ не превосходит соответствующее значение дроби $\frac{16-2b}{9-b}?$

а) Чтобы найти значения b, при которых значение дроби $ \frac{12 - 1,5b}{5} $ меньше соответствующего значения дроби $ \frac{11 - 0,5b}{2} $, решим неравенство:

$ \frac{12 - 1,5b}{5} < \frac{11 - 0,5b}{2} $

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, то есть на 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$ 10 \cdot \frac{12 - 1,5b}{5} < 10 \cdot \frac{11 - 0,5b}{2} $

$ 2(12 - 1,5b) < 5(11 - 0,5b) $

Раскроем скобки:

$ 24 - 3b < 55 - 2,5b $

Сгруппируем слагаемые с переменной b в одной части, а свободные члены — в другой:

$ -3b + 2,5b < 55 - 24 $

$ -0,5b < 31 $

Разделим обе части на -0,5, изменив знак неравенства на противоположный:

$ b > \frac{31}{-0,5} $

$ b > -62 $

Ответ: $ b \in (-62; +\infty) $.

б) Чтобы найти значения b, при которых значение дроби $ \frac{2,6 + 3b}{2} $ больше соответствующего значения дроби $ \frac{1,4 + b}{4} $, решим неравенство:

$ \frac{2,6 + 3b}{2} > \frac{1,4 + b}{4} $

Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не изменится.

$ 4 \cdot \frac{2,6 + 3b}{2} > 4 \cdot \frac{1,4 + b}{4} $

$ 2(2,6 + 3b) > 1,4 + b $

Раскроем скобки:

$ 5,2 + 6b > 1,4 + b $

Сгруппируем слагаемые:

$ 6b - b > 1,4 - 5,2 $

$ 5b > -3,8 $

Разделим обе части на 5:

$ b > -\frac{3,8}{5} $

$ b > -0,76 $

Ответ: $ b \in (-0,76; +\infty) $.

в) Условие, что значение дроби $ \frac{6b - 1}{b} $ не превосходит соответствующее значение дроби $ \frac{16 - 2b}{9 - b} $, записывается в виде неравенства:

$ \frac{6b - 1}{b} \le \frac{16 - 2b}{9 - b} $

Перенесем все члены в левую часть. Область допустимых значений (ОДЗ): $ b \ne 0 $ и $ 9 - b \ne 0 $, то есть $ b \ne 9 $.

$ \frac{6b - 1}{b} - \frac{16 - 2b}{9 - b} \le 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $ b(9 - b) $:

$ \frac{(6b - 1)(9 - b) - b(16 - 2b)}{b(9 - b)} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{(54b - 6b^2 - 9 + b) - (16b - 2b^2)}{b(9 - b)} \le 0 $

$ \frac{-6b^2 + 55b - 9 - 16b + 2b^2}{b(9 - b)} \le 0 $

$ \frac{-4b^2 + 39b - 9}{b(9 - b)} \le 0 $

Чтобы упростить анализ знаков, умножим числитель и знаменатель на -1. Это равносильно умножению дроби на $ \frac{-1}{-1} = 1 $, поэтому знак неравенства не изменится.

$ \frac{-1(-4b^2 + 39b - 9)}{-1(b(9 - b))} \le 0 $

$ \frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)} \le 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя из уравнения $ 4b^2 - 39b + 9 = 0 $:

Дискриминант $ D = (-39)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1521 - 144 = 1377 $.

Корни: $ b_{1,2} = \frac{39 \pm \sqrt{1377}}{8} $. Эти точки войдут в решение, так как неравенство нестрогое.

Корни знаменателя: $ b = 0 $ и $ b = 9 $. Эти точки не войдут в решение (выколотые).

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания. Приближенные значения корней: $ \sqrt{1377} \approx 37,1 $, поэтому $ b_1 = \frac{39 - \sqrt{1377}}{8} \approx 0,24 $ и $ b_2 = \frac{39 + \sqrt{1377}}{8} \approx 9,64 $.

Критические точки: $0$, $ \frac{39 - \sqrt{1377}}{8} $, $9$, $ \frac{39 + \sqrt{1377}}{8} $.

Определим знаки выражения $ F(b) = \frac{4b^2 - 39b + 9}{b(b - 9)} $ на полученных интервалах. Выражение $ 4b^2 - 39b + 9 $ — парабола ветвями вверх, положительно вне корней и отрицательно между ними. Выражение $ b(b - 9) $ — парабола ветвями вверх, положительно вне корней и отрицательно между ними.

• Интервал $ \left(\frac{39 + \sqrt{1377}}{8}; +\infty\right) $: $ F(b) = \frac{+}{+} > 0 $.
• Интервал $ \left(9; \frac{39 + \sqrt{1377}}{8}\right) $: $ F(b) = \frac{-}{+} < 0 $. Подходит.
• Интервал $ \left(\frac{39 - \sqrt{1377}}{8}; 9\right) $: $ F(b) = \frac{-}{-} > 0 $.
• Интервал $ \left(0; \frac{39 - \sqrt{1377}}{8}\right) $: $ F(b) = \frac{+}{-} < 0 $. Подходит.
• Интервал $ (-\infty; 0) $: $ F(b) = \frac{+}{+} > 0 $.

Объединяя интервалы, где выражение меньше или равно нулю, получаем решение.

Ответ: $ b \in \left(0; \frac{39 - \sqrt{1377}}{8}\right] \cup \left(9; \frac{39 + \sqrt{1377}}{8}\right] $.

801. Решите двойное неравенство:

а) Чтобы решить двойное неравенство $-2 < \frac{4x - 1}{5} < 2$, необходимо изолировать переменную x в средней части. Для этого выполним следующие преобразования для всех трёх частей неравенства:

1. Умножим все части на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-2 \cdot 5 < (\frac{4x - 1}{5}) \cdot 5 < 2 \cdot 5$

$-10 < 4x - 1 < 10$

2. Прибавим 1 ко всем частям, чтобы избавиться от -1 в средней части:

$-10 + 1 < 4x - 1 + 1 < 10 + 1$

$-9 < 4x < 11$

3. Разделим все части на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства снова сохраняются:

$\frac{-9}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{11}{4}$

$-\frac{9}{4} < x < \frac{11}{4}$

В виде десятичных дробей это выглядит так:

$-2,25 < x < 2,75$

Решением является открытый числовой промежуток (интервал).

Ответ: $(-2,25; 2,75)$.

б) Чтобы решить двойное неравенство $0,2 \le \frac{1 - 5x}{20} \le 0,4$, проделаем аналогичные шаги:

1. Умножим все части на 20. Знак неравенства не меняется:

$0,2 \cdot 20 \le (\frac{1 - 5x}{20}) \cdot 20 \le 0,4 \cdot 20$

$4 \le 1 - 5x \le 8$

2. Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$4 - 1 \le 1 - 5x - 1 \le 8 - 1$

$3 \le -5x \le 7$

3. Разделим все части на -5. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{3}{-5} \ge \frac{-5x}{-5} \ge \frac{7}{-5}$

$-0,6 \ge x \ge -1,4$

4. Для удобства записи перепишем неравенство в порядке возрастания (от меньшего числа к большему):

$-1,4 \le x \le -0,6$

Решением является числовой отрезок.

Ответ: $[-1,4; -0,6]$.

802. Решите неравенство:

а) Дано неравенство $(5 - 2x)(\sqrt{6} - 3) < 0$.
Сначала определим знак множителя $(\sqrt{6} - 3)$. Для этого сравним $\sqrt{6}$ и $3$. Представим $3$ в виде корня: $3 = \sqrt{9}$.
Поскольку $6 < 9$, то $\sqrt{6} < \sqrt{9}$, а значит $\sqrt{6} < 3$.
Следовательно, разность $(\sqrt{6} - 3)$ является отрицательным числом.
Произведение двух множителей будет отрицательным, если они имеют разные знаки. Так как второй множитель $(\sqrt{6} - 3)$ отрицателен, то первый множитель $(5 - 2x)$ должен быть положительным.
Решим неравенство:
$5 - 2x > 0$
$-2x > -5$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-2$, знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-5}{-2}$
$x < 2.5$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие $2.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2.5)$.

б) Дано неравенство $(4 - \sqrt{10})(3x + 1) > 0$.
Определим знак множителя $(4 - \sqrt{10})$. Сравним $4$ и $\sqrt{10}$. Представим $4$ в виде корня: $4 = \sqrt{16}$.
Поскольку $16 > 10$, то $\sqrt{16} > \sqrt{10}$, а значит $4 > \sqrt{10}$.
Следовательно, разность $(4 - \sqrt{10})$ является положительным числом.
Произведение двух множителей будет положительным, если они имеют одинаковые знаки. Так как первый множитель $(4 - \sqrt{10})$ положителен, то и второй множитель $(3x + 1)$ должен быть положительным.
Решим неравенство:
$3x + 1 > 0$
$3x > -1$
$x > -\frac{1}{3}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; +\infty)$.

в) Дано неравенство $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 + 7x} < 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$. Поскольку $3 > 2$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ является положительным числом.
Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель положителен, то знаменатель $(2 + 7x)$ должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю.
Решим неравенство:
$2 + 7x < 0$
$7x < -2$
$x < -\frac{2}{7}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие $-\frac{2}{7}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7})$.

г) Дано неравенство $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{8}}{4 + 5x} > 0$.
Определим знак числителя $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$. Поскольку $7 < 8$, то $\sqrt{7} < \sqrt{8}$.
Следовательно, числитель $(\sqrt{7} - \sqrt{8})$ является отрицательным числом.
Дробь будет положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как числитель отрицателен, то и знаменатель $(4 + 5x)$ должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю.
Решим неравенство:
$4 + 5x < 0$
$5x < -4$
$x < -\frac{4}{5}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, меньшие $-\frac{4}{5}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{5})$.

803. Решите систему неравенств:

а)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 5x - 2 > 2x + 1, \\ 2x + 3 < 18 - 3x; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$5x - 2 > 2x + 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$5x - 2x > 1 + 2$

$3x > 3$

Разделим обе части на 3:

$x > 1$

2. Решим второе неравенство:

$2x + 3 < 18 - 3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$2x + 3x < 18 - 3$

$5x < 15$

Разделим обе части на 5:

$x < 3$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств. Мы получили, что $x$ должен быть одновременно больше 1 и меньше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < x < 3$.

В виде интервала это записывается как $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$

б)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 4y + 5 > y + 17, \\ y - 1 > 2y - 3; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$4y + 5 > y + 17$

$4y - y > 17 - 5$

$3y > 12$

$y > 4$

2. Решим второе неравенство:

$y - 1 > 2y - 3$

$y - 2y > -3 + 1$

$-y > -2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$y < 2$

3. Найдем пересечение решений. Мы получили, что $y$ должен быть одновременно больше 4 и меньше 2. Нет таких чисел, которые бы удовлетворяли обоим условиям одновременно. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

в)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 12y - 1 < 3 - 2y, \\ 5y < 2 - 11y; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$12y - 1 < 3 - 2y$

$12y + 2y < 3 + 1$

$14y < 4$

$y < \frac{4}{14}$

$y < \frac{2}{7}$

2. Решим второе неравенство:

$5y < 2 - 11y$

$5y + 11y < 2$

$16y < 2$

$y < \frac{2}{16}$

$y < \frac{1}{8}$

3. Найдем пересечение решений. Мы получили, что $y < \frac{2}{7}$ и $y < \frac{1}{8}$. Сравним дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{8}$. Приведем их к общему знаменателю 56: $\frac{16}{56}$ и $\frac{7}{56}$. Так как $\frac{7}{56} < \frac{16}{56}$, то $\frac{1}{8} < \frac{2}{7}$. Решением системы будет пересечение интервалов $(-\infty; \frac{2}{7})$ и $(-\infty; \frac{1}{8})$. Пересечением является интервал $(-\infty; \frac{1}{8})$, так как любое число, меньшее $\frac{1}{8}$, будет автоматически меньше и $\frac{2}{7}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{8})$

г)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 8x + 1 > 5x - 1, \\ 9x + 9 < 8x + 8. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство:

$8x + 1 > 5x - 1$

$8x - 5x > -1 - 1$

$3x > -2$

$x > -\frac{2}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$9x + 9 < 8x + 8$

$9x - 8x < 8 - 9$

$x < -1$

3. Найдем пересечение решений. Мы получили, что $x$ должен быть одновременно больше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-1$. Так как $-1 < -\frac{2}{3}$, не существует таких чисел $x$, которые были бы одновременно больше $-\frac{2}{3}$ и меньше $-1$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

804. Решите систему трёх неравенств:

а)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 2x + 5 > 3x - 1, \\ \frac{x}{3} > -1, \\ 10x < 0; \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Первое неравенство:

$2x + 5 > 3x - 1$

$5 + 1 > 3x - 2x$

$6 > x$, что эквивалентно $x < 6$.

2. Второе неравенство:

$\frac{x}{3} > -1$

Умножим обе части на 3 (знак неравенства не меняется):

$x > -3$.

3. Третье неравенство:

$10x < 0$

Разделим обе части на 10 (знак неравенства не меняется):

$x < 0$.

Теперь у нас есть система из трех простых неравенств:

$\begin{cases} x < 6 \\ x > -3 \\ x < 0 \end{cases}$

Для нахождения решения системы необходимо найти пересечение этих трех множеств. На числовой оси это будет интервал, который удовлетворяет всем трем условиям одновременно.

Условие $x > -3$ означает, что $x$ находится правее -3.

Условие $x < 0$ означает, что $x$ находится левее 0.

Условие $x < 6$ означает, что $x$ находится левее 6.

Пересечение всех трех условий дает нам интервал от -3 до 0, не включая концы. Таким образом, $-3 < x < 0$.

Ответ: $(-3; 0)$.

б)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} 6x > x - 10, \\ 2x - 4 < 0, \\ 2x + 1 > x + 4. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1. Первое неравенство:

$6x > x - 10$

$6x - x > -10$

$5x > -10$

$x > -2$.

2. Второе неравенство:

$2x - 4 < 0$

$2x < 4$

$x < 2$.

3. Третье неравенство:

$2x + 1 > x + 4$

$2x - x > 4 - 1$

$x > 3$.

Теперь у нас есть система из трех простых неравенств:

$\begin{cases} x > -2 \\ x < 2 \\ x > 3 \end{cases}$

Найдем пересечение этих решений. Из первых двух неравенств следует, что $-2 < x < 2$.

Третье неравенство требует, чтобы $x$ был больше 3, то есть $x > 3$.

Необходимо найти значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $-2 < x < 2$ и $x > 3$. Таких значений не существует, так как интервал $(-2; 2)$ и интервал $(3; +\infty)$ не пересекаются.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.