Страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

810. Решите неравенство:

а) Раскроем скобки в левой части неравенства:
$(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0$
$(2x^2 + 8x + x + 4) - (3x^2 + 6x) < 0$
$2x^2 + 9x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + 3x + 4 < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$(x + 1)(x - 4) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни $-1$ и $4$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; \infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (парабола ветвями вверх), выражение $x^2 - 3x - 4$ положительно вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.

б) Раскроем скобки и упростим выражение:
$(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0$
$(9x^2 - 12x + 4) - (8x^2 - 12x) > 0$
$9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$
$x^2 + 4 > 0$
Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4, и, следовательно, всегда будет положительным.
Таким образом, неравенство верно для любого значения $x$.
Ответ: $(-\infty; \infty)$.

в) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14$
$(1^2 - (6x)^2) + (35x^2 - 14x) > 14$
$1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 14x + 1 > 14$
Перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 14x - 13 > 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$x^2 + 14x + 13 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 13 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -13$, $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид $(x + 13)(x + 1) < 0$.
Так как парабола $y = x^2 + 14x + 13$ имеет ветви, направленные вверх, значения трехчлена отрицательны между корнями.
$-13 < x < -1$.
Ответ: $(-13; -1)$.

г) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27$
$(5x^2 - 5x + 2x - 2) - (4x^2 - 1) < 27$
$5x^2 - 3x - 2 - 4x^2 + 1 < 27$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 3x - 1 < 27$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 28 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 7$.
Неравенство принимает вид $(x + 4)(x - 7) < 0$.
Парабола $y = x^2 - 3x - 28$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$-4 < x < 7$.
Ответ: $(-4; 7)$.

д) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6$
$(4x^2 - 1) - (x^2 + 4x) < 6$
$4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 4x - 1 < 6$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 4x - 7 < 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 - 4x - 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$-1 < x < \frac{7}{3}$.
Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.

е) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37$
$(3x^2 - x) - (36 - x^2) < 37$
$3x^2 - x - 36 + x^2 < 37$
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - x - 36 < 37$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 - x - 73 < 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 73 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-73) = 1 + 1168 = 1169$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1169}}{8}$.
Парабола $y = 4x^2 - x - 73$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$\frac{1 - \sqrt{1169}}{8} < x < \frac{1 + \sqrt{1169}}{8}$.
Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{1169}}{8}; \frac{1 + \sqrt{1169}}{8})$.

811. Докажите, что при любых x:

а) трёхчлен x² – 3x + 200 принимает положительные значения;

б) трёхчлен –x² + 22x – 125 принимает отрицательные значения;

в) трёхчлен x² – 16x + 64 принимает неотрицательные значения;

г) трёхчлен 10x – x² – 25 принимает неположительные значения.

а) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения при любых $x$, выделим в нём полный квадрат. Метод выделения полного квадрата позволяет представить квадратичную функцию в виде $a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

Дополним выражение $x^2 - 3x$ до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 3x$, откуда $2b=3$, и $b = \frac{3}{2}$. Значит, нам нужно добавить и вычесть $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Преобразуем исходный трёхчлен:

$x^2 - 3x + 200 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{800 - 9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{791}{4}$.

Выражение $(x - \frac{3}{2})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{3}{2})^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается, когда $(x - \frac{3}{2})^2 = 0$. Это значение равно $0 + \frac{791}{4} = \frac{791}{4}$.

Поскольку $\frac{791}{4} > 0$, наименьшее значение трёхчлена положительно. Это доказывает, что при любых $x$ трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает только положительные значения.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ всегда положителен, так как его можно представить в виде суммы неотрицательного выражения $(x - \frac{3}{2})^2$ и положительного числа $\frac{791}{4}$.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения при любых $x$, вынесем знак минус за скобки и выделим полный квадрат.

$-x^2 + 22x - 125 = -(x^2 - 22x + 125)$.

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 22x + 125$. Используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $2ab=22x$, находим $b=11$. Тогда $b^2=121$.

Преобразуем выражение в скобках:

$x^2 - 22x + 125 = (x^2 - 22x + 121) - 121 + 125 = (x - 11)^2 + 4$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$-(x^2 - 22x + 125) = -((x - 11)^2 + 4) = -(x - 11)^2 - 4$.

Выражение $(x - 11)^2$ всегда неотрицательно: $(x - 11)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(x - 11)^2$ всегда неположительно: $-(x - 11)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(x - 11)^2 - 4$ достигается, когда $-(x - 11)^2$ принимает своё наибольшее значение, равное нулю. В этом случае всё выражение равно $0 - 4 = -4$.

Поскольку наибольшее значение трёхчлена равно $-4$, а $-4 < 0$, то при любых $x$ трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает только отрицательные значения.

Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ всегда отрицателен, так как он равен $-(x - 11)^2 - 4$, что является суммой неположительного числа $-(x - 11)^2$ и отрицательного числа $-4$.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения (то есть $\ge 0$), заметим, что он является полным квадратом.

Данный трёхчлен соответствует формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b^2 = 64$, откуда $b = 8$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x$.

Следовательно, мы можем свернуть трёхчлен в полный квадрат:

$x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Это означает, что трёхчлен принимает только неотрицательные значения: он равен нулю при $x=8$ и положителен при всех остальных значениях $x$.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом выражения $(x-8)^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $\ge 0$.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения (то есть $\le 0$), сначала переставим члены для удобства и вынесем минус за скобки.

$10x - x^2 - 25 = -x^2 + 10x - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом. Оно соответствует формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=5$.

Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$.

Таким образом, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$10x - x^2 - 25 = -(x - 5)^2$.

Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любых $x$, то выражение $-(x - 5)^2$ всегда будет меньше или равно нулю: $-(x - 5)^2 \le 0$.

Это означает, что трёхчлен принимает только неположительные значения: он равен нулю при $x=5$ и отрицателен при всех остальных значениях $x$.

Ответ: Трёхчлен $10x - x^2 - 25$ равен выражению $-(x-5)^2$. Так как $(x-5)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$), то $-(x-5)^2$ всегда неположительно ($\le 0$).

812. Решите систему неравенств:

а) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ 2x - 5 \le 0; \end{cases}$
1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$. Это квадратичное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [-1; 3]$.
2. Теперь решим второе, линейное неравенство $2x - 5 \le 0$.
$2x \le 5$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2,5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2,5]$.
3. Для решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-1; 3] \cap (-\infty; 2,5]$.
На числовой оси это будет общий промежуток, который удовлетворяет обоим условиям. Пересечением является отрезок $[-1; 2,5]$.
Ответ: $x \in [-1; 2,5]$.

б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ 2x - 9 \le 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6, поэтому корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $2x - 9 \le 0$.
$2x \le 9$
$x \le \frac{9}{2}$
$x \le 4,5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 4,5]$.
3. Найдем пересечение решений: $( (-\infty; 2] \cup [3; \infty) ) \cap (-\infty; 4,5]$.
Это пересечение состоит из объединения двух промежутков: $(-\infty; 2]$ и $[3; 4,5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; 4,5]$.

в) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ 3 - x \le 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $9 - x^2 \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями. Решение первого неравенства: $x \in [-3; 3]$.
2. Решим второе неравенство $3 - x \le 0$.
$3 \le x$, что то же самое, что и $x \ge 3$.
Решение второго неравенства: $x \in [3; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $[-3; 3] \cap [3; \infty)$.
Единственное число, которое входит в оба промежутка, это $x=3$.
Ответ: $x = 3$.

г) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0, \\ 5x \ge 0. \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $x^2 + 2x \ge 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 + 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $5x \ge 0$.
Разделим обе части на 5: $x \ge 0$.
Решение второго неравенства: $x \in [0; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $( (-\infty; -2] \cup [0; \infty) ) \cap [0; \infty)$.
Пересечением этих множеств является промежуток $[0; \infty)$.
Ответ: $x \in [0; \infty)$.

813. Найдите целые решения системы неравенств:

а) Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - 7x + 6 \le 0, \\x^2 - 8x + 15 \ge 0;\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Так как это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [1, 6]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 15$. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $[1, 6]$ и $(-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.
Пересекая эти множества, получаем $x \in ([1, 6] \cap (-\infty, 3]) \cup ([1, 6] \cap [5, +\infty))$.
Это дает нам объединение двух промежутков: $x \in [1, 3] \cup [5, 6]$.

4. Выберем целые решения из полученного множества.
Целые числа из промежутка $[1, 3]$: 1, 2, 3.
Целые числа из промежутка $[5, 6]$: 5, 6.
Таким образом, целыми решениями системы являются числа 1, 2, 3, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

б) Решим вторую систему неравенств.

Система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 + 1 \ge 0, \\x^2 - 6x + 8 \le 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 1 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [2, 4]$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty, +\infty)$ и $[2, 4]$.
Пересечением множества всех действительных чисел и отрезка $[2, 4]$ является сам отрезок $[2, 4]$.
Решение системы: $x \in [2, 4]$.

4. Выберем целые решения из полученного промежутка.
Целые числа, принадлежащие отрезку $[2, 4]$: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.

814. При каких значениях x имеет смысл выражение:

а)

Выражение $\sqrt{12x - 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$12x - 4 \ge 0$

$12x \ge 4$

$x \ge \frac{4}{12}$

$x \ge \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

б)

Выражение $\sqrt{3 - 0.6x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим неравенство:

$3 - 0.6x \ge 0$

$3 \ge 0.6x$

$x \le \frac{3}{0.6}$

$x \le 5$

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

в)

Выражение $\sqrt{15 + 2x - x^2}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$15 + 2x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3$; $x_2 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не больше нуля ($y \le 0$) на промежутке между корнями (включая сами корни).

Следовательно, $-3 \le x \le 5$.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.

г)

Выражение $\sqrt{2x^2 + x - 6}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

Решим квадратное неравенство:

$2x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 + x - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не меньше нуля ($y \ge 0$) на промежутках вне корней (включая сами корни).

Следовательно, $x \le -2$ или $x \ge 1.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1.5; +\infty)$.

д)

Выражение $\sqrt{12 - 5x} + \sqrt{2x - 1}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны одновременно. Это приводит к системе неравенств.

$\begin{cases} 12 - 5x \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $12 - 5x \ge 0 \implies 12 \ge 5x \implies x \le \frac{12}{5} \implies x \le 2.4$.

2) $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2} \implies x \ge 0.5$.

Решением системы является пересечение полученных множеств, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $0.5 \le x \le 2.4$.

Ответ: $x \in [0.5; 2.4]$.

е)

Выражение $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{3x - 17}$ имеет смысл, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 4 \ge 0 \\ 3x - 17 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $x^2 + 4 \ge 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, сумма $x^2 + 4$ всегда будет положительной (не меньше 4). Таким образом, это неравенство выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $3x - 17 \ge 0 \implies 3x \ge 17 \implies x \ge \frac{17}{3}$.

Общим решением системы является пересечение решений, что соответствует второму неравенству.

Ответ: $x \in [\frac{17}{3}; +\infty)$.

815. Найдите область определения каждого из выражений:

а)

1. Для выражения $2x - 5$:

Это выражение является многочленом (линейной функцией). Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\frac{1}{2x - 5}$:

Это дробно-рациональное выражение. Оно определено, когда его знаменатель не равен нулю.

$2x - 5 \neq 0$

$2x \neq 5$

$x \neq 2.5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $2.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2.5) \cup (2.5; +\infty)$.

3. Для выражения $\sqrt{2x - 5}$:

Это выражение с квадратным корнем. Оно определено, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

$2x - 5 \ge 0$

$2x \ge 5$

$x \ge 2.5$

Следовательно, область определения — это все действительные числа, большие или равные $2.5$.

Ответ: $x \in [2.5; +\infty)$.

б)

1. Для выражения $2x^2 + 7x - 4$:

Это квадратичный многочлен. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив квадратное уравнение $2x^2 + 7x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

Значит, область определения исключает эти два значения.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.

3. Для выражения $\sqrt{\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}}$:

Подкоренное выражение $\frac{1}{2x^2 + 7x - 4}$ должно быть неотрицательным. Так как числитель $1$ является положительным числом, для этого необходимо, чтобы знаменатель был строго положительным.

$2x^2 + 7x - 4 > 0$.

Мы уже нашли корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$: это $x_1 = -4$ и $x_2 = 0.5$. Графиком функции $y = 2x^2 + 7x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -4$ или $x > 0.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (0.5; +\infty)$.

в)

1. Для выражения $x^2 + 1$:

Это квадратичный многочлен. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Для выражения $\sqrt{x^2 + 1}$:

Подкоренное выражение $x^2 + 1$ должно быть неотрицательным.

$x^2 + 1 \ge 0$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, подкоренное выражение всегда положительно. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3. Для выражения $\frac{1}{x^2 + 1}$:

Знаменатель дроби $x^2 + 1$ не должен равняться нулю. Как мы установили в предыдущем пункте, $x^2 + 1 \ge 1$ для всех действительных $x$. Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю. Ограничений на $x$ нет.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.