Номер 811, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 811, страница 205.

Условие.

811. Докажите, что при любых x:

а) трёхчлен x² – 3x + 200 принимает положительные значения;

б) трёхчлен –x² + 22x – 125 принимает отрицательные значения;

в) трёхчлен x² – 16x + 64 принимает неотрицательные значения;

г) трёхчлен 10x – x² – 25 принимает неположительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает положительные значения при любых $x$, выделим в нём полный квадрат. Метод выделения полного квадрата позволяет представить квадратичную функцию в виде $a(x-h)^2+k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

Дополним выражение $x^2 - 3x$ до полного квадрата. Для этого используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$, а $2ab = 3x$, откуда $2b=3$, и $b = \frac{3}{2}$. Значит, нам нужно добавить и вычесть $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Преобразуем исходный трёхчлен:

$x^2 - 3x + 200 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 200 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{800 - 9}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{791}{4}$.

Выражение $(x - \frac{3}{2})^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{3}{2})^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения достигается, когда $(x - \frac{3}{2})^2 = 0$. Это значение равно $0 + \frac{791}{4} = \frac{791}{4}$.

Поскольку $\frac{791}{4} > 0$, наименьшее значение трёхчлена положительно. Это доказывает, что при любых $x$ трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ принимает только положительные значения.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 3x + 200$ всегда положителен, так как его можно представить в виде суммы неотрицательного выражения $(x - \frac{3}{2})^2$ и положительного числа $\frac{791}{4}$.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает отрицательные значения при любых $x$, вынесем знак минус за скобки и выделим полный квадрат.

$-x^2 + 22x - 125 = -(x^2 - 22x + 125)$.

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 22x + 125$. Используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $2ab=22x$, находим $b=11$. Тогда $b^2=121$.

Преобразуем выражение в скобках:

$x^2 - 22x + 125 = (x^2 - 22x + 121) - 121 + 125 = (x - 11)^2 + 4$.

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$-(x^2 - 22x + 125) = -((x - 11)^2 + 4) = -(x - 11)^2 - 4$.

Выражение $(x - 11)^2$ всегда неотрицательно: $(x - 11)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(x - 11)^2$ всегда неположительно: $-(x - 11)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(x - 11)^2 - 4$ достигается, когда $-(x - 11)^2$ принимает своё наибольшее значение, равное нулю. В этом случае всё выражение равно $0 - 4 = -4$.

Поскольку наибольшее значение трёхчлена равно $-4$, а $-4 < 0$, то при любых $x$ трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ принимает только отрицательные значения.

Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 22x - 125$ всегда отрицателен, так как он равен $-(x - 11)^2 - 4$, что является суммой неположительного числа $-(x - 11)^2$ и отрицательного числа $-4$.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ принимает неотрицательные значения (то есть $\ge 0$), заметим, что он является полным квадратом.

Данный трёхчлен соответствует формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b^2 = 64$, откуда $b = 8$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 8 = 16x$.

Следовательно, мы можем свернуть трёхчлен в полный квадрат:

$x^2 - 16x + 64 = (x - 8)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. То есть, $(x - 8)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Это означает, что трёхчлен принимает только неотрицательные значения: он равен нулю при $x=8$ и положителен при всех остальных значениях $x$.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом выражения $(x-8)^2$, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $\ge 0$.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $10x - x^2 - 25$ принимает неположительные значения (то есть $\le 0$), сначала переставим члены для удобства и вынесем минус за скобки.

$10x - x^2 - 25 = -x^2 + 10x - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом. Оно соответствует формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=5$.

Проверка среднего члена: $2ab = 2 \cdot x \cdot 5 = 10x$.

Таким образом, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$10x - x^2 - 25 = -(x - 5)^2$.

Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любых $x$, то выражение $-(x - 5)^2$ всегда будет меньше или равно нулю: $-(x - 5)^2 \le 0$.

Это означает, что трёхчлен принимает только неположительные значения: он равен нулю при $x=5$ и отрицателен при всех остальных значениях $x$.

Ответ: Трёхчлен $10x - x^2 - 25$ равен выражению $-(x-5)^2$. Так как $(x-5)^2$ всегда неотрицательно ($\ge 0$), то $-(x-5)^2$ всегда неположительно ($\le 0$).