Номер 810, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 810, страница 205.

Условие.

810. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Раскроем скобки в левой части неравенства:
$(2x + 1)(x + 4) - 3x(x + 2) < 0$
$(2x^2 + 8x + x + 4) - (3x^2 + 6x) < 0$
$2x^2 + 9x + 4 - 3x^2 - 6x < 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + 3x + 4 < 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 3x - 4 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.
Разложим квадратный трехчлен на множители:
$(x + 1)(x - 4) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни $-1$ и $4$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 4)$ и $(4; \infty)$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен (парабола ветвями вверх), выражение $x^2 - 3x - 4$ положительно вне интервала между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup (4; \infty)$.

б) Раскроем скобки и упростим выражение:
$(3x - 2)^2 - 4x(2x - 3) > 0$
$(9x^2 - 12x + 4) - (8x^2 - 12x) > 0$
$9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12x > 0$
$x^2 + 4 > 0$
Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то выражение $x^2 + 4$ всегда будет больше или равно 4, и, следовательно, всегда будет положительным.
Таким образом, неравенство верно для любого значения $x$.
Ответ: $(-\infty; \infty)$.

в) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(1 - 6x)(1 + 6x) + 7x(5x - 2) > 14$
$(1^2 - (6x)^2) + (35x^2 - 14x) > 14$
$1 - 36x^2 + 35x^2 - 14x > 14$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 14x + 1 > 14$
Перенесем все члены в левую часть:
$-x^2 - 14x - 13 > 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$x^2 + 14x + 13 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 14x + 13 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -13$, $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид $(x + 13)(x + 1) < 0$.
Так как парабола $y = x^2 + 14x + 13$ имеет ветви, направленные вверх, значения трехчлена отрицательны между корнями.
$-13 < x < -1$.
Ответ: $(-13; -1)$.

г) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(5x + 2)(x - 1) - (2x + 1)(2x - 1) < 27$
$(5x^2 - 5x + 2x - 2) - (4x^2 - 1) < 27$
$5x^2 - 3x - 2 - 4x^2 + 1 < 27$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 3x - 1 < 27$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 3x - 28 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$.
По теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 7$.
Неравенство принимает вид $(x + 4)(x - 7) < 0$.
Парабола $y = x^2 - 3x - 28$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$-4 < x < 7$.
Ответ: $(-4; 7)$.

д) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(2x - 1)(1 + 2x) - x(x + 4) < 6$
$(4x^2 - 1) - (x^2 + 4x) < 6$
$4x^2 - 1 - x^2 - 4x < 6$
Приведем подобные слагаемые:
$3x^2 - 4x - 1 < 6$
Перенесем все члены в левую часть:
$3x^2 - 4x - 7 < 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
Парабола $y = 3x^2 - 4x - 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$-1 < x < \frac{7}{3}$.
Ответ: $(-1; \frac{7}{3})$.

е) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
$(3x - 1)x - (6 - x)(x + 6) < 37$
$(3x^2 - x) - (36 - x^2) < 37$
$3x^2 - x - 36 + x^2 < 37$
Приведем подобные слагаемые:
$4x^2 - x - 36 < 37$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 - x - 73 < 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 73 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-73) = 1 + 1168 = 1169$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1169}}{8}$.
Парабола $y = 4x^2 - x - 73$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
$\frac{1 - \sqrt{1169}}{8} < x < \frac{1 + \sqrt{1169}}{8}$.
Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{1169}}{8}; \frac{1 + \sqrt{1169}}{8})$.