Номер 813, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

813. Найдите целые решения системы неравенств:

а) Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 - 7x + 6 \le 0, \\x^2 - 8x + 15 \ge 0;\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 7$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Так как это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), неравенство $x^2 - 7x + 6 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [1, 6]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 15$. Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Это также парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 8x + 15 \ge 0$ выполняется на промежутках вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений $[1, 6]$ и $(-\infty, 3] \cup [5, +\infty)$.
Пересекая эти множества, получаем $x \in ([1, 6] \cap (-\infty, 3]) \cup ([1, 6] \cap [5, +\infty))$.
Это дает нам объединение двух промежутков: $x \in [1, 3] \cup [5, 6]$.

4. Выберем целые решения из полученного множества.
Целые числа из промежутка $[1, 3]$: 1, 2, 3.
Целые числа из промежутка $[5, 6]$: 5, 6.
Таким образом, целыми решениями системы являются числа 1, 2, 3, 5, 6.

Ответ: 1, 2, 3, 5, 6.

б) Решим вторую систему неравенств.

Система неравенств:

$$\begin{cases}x^2 + 1 \ge 0, \\x^2 - 6x + 8 \le 0.\end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $x^2 + 1 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $1 > 0$, неравенство $x^2 + 1 \ge 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 6x + 8 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [2, 4]$.

3. Найдем пересечение решений $(-\infty, +\infty)$ и $[2, 4]$.
Пересечением множества всех действительных чисел и отрезка $[2, 4]$ является сам отрезок $[2, 4]$.
Решение системы: $x \in [2, 4]$.

4. Выберем целые решения из полученного промежутка.
Целые числа, принадлежащие отрезку $[2, 4]$: 2, 3, 4.

Ответ: 2, 3, 4.