Номер 812, страница 205 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 812, страница 205.

Условие.

812. Решите систему неравенств:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0, \\ 2x - 5 \le 0; \end{cases}$
1. Сначала решим первое неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$. Это квадратичное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [-1; 3]$.
2. Теперь решим второе, линейное неравенство $2x - 5 \le 0$.
$2x \le 5$
$x \le \frac{5}{2}$
$x \le 2,5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2,5]$.
3. Для решения системы найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $[-1; 3] \cap (-\infty; 2,5]$.
На числовой оси это будет общий промежуток, который удовлетворяет обоим условиям. Пересечением является отрезок $[-1; 2,5]$.
Ответ: $x \in [-1; 2,5]$.

б) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 \ge 0, \\ 2x - 9 \le 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6, поэтому корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $2x - 9 \le 0$.
$2x \le 9$
$x \le \frac{9}{2}$
$x \le 4,5$
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 4,5]$.
3. Найдем пересечение решений: $( (-\infty; 2] \cup [3; \infty) ) \cap (-\infty; 4,5]$.
Это пересечение состоит из объединения двух промежутков: $(-\infty; 2]$ и $[3; 4,5]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; 4,5]$.

в) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 9 - x^2 \ge 0, \\ 3 - x \le 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $9 - x^2 \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства: $x^2 - 9 \le 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 3) \le 0$.
Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями. Решение первого неравенства: $x \in [-3; 3]$.
2. Решим второе неравенство $3 - x \le 0$.
$3 \le x$, что то же самое, что и $x \ge 3$.
Решение второго неравенства: $x \in [3; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $[-3; 3] \cap [3; \infty)$.
Единственное число, которое входит в оба промежутка, это $x=3$.
Ответ: $x = 3$.

г) Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 2x \ge 0, \\ 5x \ge 0. \end{cases}$
1. Решим первое неравенство $x^2 + 2x \ge 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 2) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x + 2) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.
Ветви параболы $y = x^2 + 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне отрезка между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [0; \infty)$.
2. Решим второе неравенство $5x \ge 0$.
Разделим обе части на 5: $x \ge 0$.
Решение второго неравенства: $x \in [0; \infty)$.
3. Найдем пересечение решений: $( (-\infty; -2] \cup [0; \infty) ) \cap [0; \infty)$.
Пересечением этих множеств является промежуток $[0; \infty)$.
Ответ: $x \in [0; \infty)$.