Номер 808, страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 808, страница 204.

Условие.

808. При каких значениях переменной x:

а) значения двучлена 0,5 – 0,2x принадлежат промежутку

б) значения дроби $\frac{20x+40}{3}$ принадлежат промежутку [–100; 100]?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, необходимо решить двойное неравенство:

$$-\frac{1}{2} \le 0,5 - 0,2x \le \frac{1}{2}$$

Для удобства вычислений преобразуем дроби в десятичный формат: $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{1}{2} = 0,5$. Неравенство примет вид:

$$-0,5 \le 0,5 - 0,2x \le 0,5$$

Вычтем $0,5$ из всех трёх частей неравенства:

$$-0,5 - 0,5 \le 0,5 - 0,2x - 0,5 \le 0,5 - 0,5$$$$-1 \le -0,2x \le 0$$

Теперь разделим все части неравенства на $-0,2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$$\frac{-1}{-0,2} \ge \frac{-0,2x}{-0,2} \ge \frac{0}{-0,2}$$$$5 \ge x \ge 0$$

Запишем полученный результат в стандартном виде (от меньшего к большему):

$$0 \le x \le 5$$

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка $[0; 5]$.

Ответ: $x \in [0; 5]$.

б) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$, необходимо решить двойное неравенство:

$$-100 \le \frac{20x + 40}{3} \le 100$$

Умножим все части неравенства на $3$, чтобы избавиться от знаменателя. Так как $3$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$$-100 \cdot 3 \le 20x + 40 \le 100 \cdot 3$$$$-300 \le 20x + 40 \le 300$$

Вычтем $40$ из всех частей неравенства:

$$-300 - 40 \le 20x + 40 - 40 \le 300 - 40$$$$-340 \le 20x \le 260$$

Разделим все части неравенства на $20$. Так как $20$ — положительное число, знаки неравенства не изменяются:

$$\frac{-340}{20} \le \frac{20x}{20} \le \frac{260}{20}$$$$-17 \le x \le 13$$

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка $[-17; 13]$.

Ответ: $x \in [-17; 13]$.