Страница 204 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

805. Решите систему неравенств:

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - 3(x + 1) < x + 8 \\ 6x(x - 1) - (2x + 2)(3x - 3) > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2x - 3x - 3 < x + 8$

$-x - 3 < x + 8$

$-x - x < 8 + 3$

$-2x < 11$

$x > -\frac{11}{2}$

$x > -5,5$

2. Решим второе неравенство:

$6x(x - 1) - (2(x + 1)) \cdot (3(x - 1)) > 0$

$6x(x - 1) - 6(x + 1)(x - 1) > 0$

Разделим обе части на 6, так как $6 > 0$:

$x(x - 1) - (x^2 - 1) > 0$

$x^2 - x - x^2 + 1 > 0$

$-x + 1 > 0$

$1 > x$ или $x < 1$

3. Найдем пересечение решений двух неравенств: $x > -5,5$ и $x < 1$.

Таким образом, решением системы является интервал $(-5,5; 1)$.

Ответ: $(-5,5; 1)$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 10(x - 1) - 5(x + 1) > 4x - 11 \\ x^2 - (x + 2)(x - 2) < 3x \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$10x - 10 - 5x - 5 > 4x - 11$

$5x - 15 > 4x - 11$

$5x - 4x > 15 - 11$

$x > 4$

2. Решим второе неравенство:

$x^2 - (x^2 - 4) < 3x$

$x^2 - x^2 + 4 < 3x$

$4 < 3x$

$x > \frac{4}{3}$

3. Найдем пересечение решений: $x > 4$ и $x > \frac{4}{3}$.

Поскольку $4 > \frac{4}{3}$, пересечением является $x > 4$.

Ответ: $(4; +\infty)$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 7 - 3x - 4(3 - 1,5x) < 0 \\ -6(1 + 2,5x) - 10x - 4 > 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$7 - 3x - 12 + 6x < 0$

$3x - 5 < 0$

$3x < 5$

$x < \frac{5}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$-6 - 15x - 10x - 4 > 0$

$-25x - 10 > 0$

$-25x > 10$

$x < -\frac{10}{25}$

$x < -\frac{2}{5}$

3. Найдем пересечение решений: $x < \frac{5}{3}$ и $x < -\frac{2}{5}$.

Поскольку $-\frac{2}{5} < \frac{5}{3}$, пересечением является $x < -\frac{2}{5}$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{5})$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2(1,5x - 1) - (x + 4) \ge 0 \\ -(2 - x) - 0,75x \le 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3x - 2 - x - 4 \ge 0$

$2x - 6 \ge 0$

$2x \ge 6$

$x \ge 3$

2. Решим второе неравенство:

$-2 + x - 0,75x \le 0$

$0,25x - 2 \le 0$

$0,25x \le 2$

$x \le \frac{2}{0,25}$

$x \le 8$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge 3$ и $x \le 8$.

Решением системы является отрезок $[3; 8]$.

Ответ: $[3; 8]$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - \frac{4x - 1}{3} < 10 \\ 4x - 1 - \frac{x}{3} < 10 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство, умножив обе части на 3:

$3x - (4x - 1) < 30$

$3x - 4x + 1 < 30$

$-x < 29$

$x > -29$

2. Решим второе неравенство, умножив обе части на 3:

$3(4x - 1) - x < 30$

$12x - 3 - x < 30$

$11x < 33$

$x < 3$

3. Найдем пересечение решений: $x > -29$ и $x < 3$.

Решением системы является интервал $(-29; 3)$.

Ответ: $(-29; 3)$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3y - \frac{2y + 1}{2} > 4 - \frac{2 - y}{3} - y \\ \frac{5y - 1}{3} - (y - 1) > 3y \end{cases}$

1. Решим первое неравенство. Перенесем все слагаемые с $y$ влево, а числа вправо:

$3y - \frac{2y + 1}{2} + \frac{2 - y}{3} + y > 4$

$4y - \frac{2y + 1}{2} + \frac{2 - y}{3} > 4$

Умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3):

$6 \cdot 4y - 6 \cdot \frac{2y + 1}{2} + 6 \cdot \frac{2 - y}{3} > 6 \cdot 4$

$24y - 3(2y + 1) + 2(2 - y) > 24$

$24y - 6y - 3 + 4 - 2y > 24$

$16y + 1 > 24$

$16y > 23$

$y > \frac{23}{16}$

2. Решим второе неравенство. Умножим обе части на 3:

$5y - 1 - 3(y - 1) > 9y$

$5y - 1 - 3y + 3 > 9y$

$2y + 2 > 9y$

$2 > 7y$

$y < \frac{2}{7}$

3. Найдем пересечение решений: $y > \frac{23}{16}$ и $y < \frac{2}{7}$.

Сравним числа: $\frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$ и $\frac{2}{7}$. Так как $1\frac{7}{16} > \frac{2}{7}$, не существует такого значения $y$, которое было бы одновременно больше $\frac{23}{16}$ и меньше $\frac{2}{7}$.

Пересечение множеств пусто.

Ответ: нет решений.

806. Найдите целые решения системы неравенств:

а)

Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$(3x + 2)^2 \ge (3x - 1)(3x + 1) - 31$

Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а в правой части — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 \ge (3x)^2 - 1^2 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 1 - 31$

$9x^2 + 12x + 4 \ge 9x^2 - 32$

Сократим $9x^2$ в обеих частях и перенесем свободные члены вправо:

$12x \ge -32 - 4$

$12x \ge -36$

Разделим обе части на 12:

$x \ge -3$

2. Решим второе неравенство:

$(2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14$

Раскроем скобки в обеих частях:

$2x \cdot 8x + 2x \cdot 5 - 3 \cdot 8x - 3 \cdot 5 < (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 - 14$

$16x^2 + 10x - 24x - 15 < 16x^2 - 24x + 9 - 14$

$16x^2 - 14x - 15 < 16x^2 - 24x - 5$

Сократим $16x^2$ в обеих частях и перенесем члены с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$-14x + 24x < -5 + 15$

$10x < 10$

Разделим обе части на 10:

$x < 1$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x \ge -3$ и $x < 1$. Решением системы является промежуток $[-3; 1)$.

Целыми решениями, принадлежащими этому промежутку, являются числа: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

б)

Для нахождения целых решений системы неравенств решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$(5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$(5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 + 36 > 5x \cdot 5x - 5x \cdot 3$

$25x^2 - 20x + 4 + 36 > 25x^2 - 15x$

$25x^2 - 20x + 40 > 25x^2 - 15x$

Сократим $25x^2$ в обеих частях и сгруппируем члены:

$40 > -15x + 20x$

$40 > 5x$

Разделим обе части на 5:

$8 > x$, или $x < 8$

2. Решим второе неравенство:

$3x(4x + 2) + 40 \le 4x(3x + 7) - 4$

Раскроем скобки в обеих частях:

$12x^2 + 6x + 40 \le 12x^2 + 28x - 4$

Сократим $12x^2$ в обеих частях и перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены в другую:

$40 + 4 \le 28x - 6x$

$44 \le 22x$

Разделим обе части на 22:

$2 \le x$, или $x \ge 2$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x < 8$ и $x \ge 2$. Решением системы является промежуток $[2; 8)$.

Целыми решениями, принадлежащими этому промежутку, являются числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

807. Решите двойное неравенство:

а) Решим двойное неравенство $-5 < \frac{4m - 3}{3} < 7$.

Сначала умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$(-5) \cdot 3 < 4m - 3 < 7 \cdot 3$

$-15 < 4m - 3 < 21$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы выделить слагаемое с переменной $m$.

$-15 + 3 < 4m < 21 + 3$

$-12 < 4m < 24$

Наконец, разделим все части на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства снова сохраняются.

$\frac{-12}{4} < m < \frac{24}{4}$

$-3 < m < 6$

Решение неравенства можно записать в виде интервала.

Ответ: $m \in (-3; 6)$.

б) Решим двойное неравенство $3 \le \frac{1 - 2x}{5} \le 11$.

Умножим все части неравенства на 5 (положительное число, знаки не меняются).

$3 \cdot 5 \le 1 - 2x \le 11 \cdot 5$

$15 \le 1 - 2x \le 55$

Вычтем 1 из всех частей неравенства.

$15 - 1 \le -2x \le 55 - 1$

$14 \le -2x \le 54$

Разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$\frac{14}{-2} \ge x \ge \frac{54}{-2}$

$-7 \ge x \ge -27$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего числа к большему).

$-27 \le x \le -7$

Ответ: $x \in [-27; -7]$.

в) Решим двойное неравенство $-11 < \frac{2 - 3p}{2} \le -8$.

Умножим все части неравенства на 2.

$(-11) \cdot 2 < 2 - 3p \le (-8) \cdot 2$

$-22 < 2 - 3p \le -16$

Вычтем 2 из всех частей неравенства.

$-22 - 2 < -3p \le -16 - 2$

$-24 < -3p \le -18$

Разделим все части неравенства на -3 и поменяем знаки неравенства на противоположные.

$\frac{-24}{-3} > p \ge \frac{-18}{-3}$

$8 > p \ge 6$

Запишем неравенство в стандартном виде.

$6 \le p < 8$

Ответ: $p \in [6; 8)$.

г) Решим двойное неравенство $-0,2 \le \frac{5x + 2}{4} \le 2$.

Умножим все части неравенства на 4.

$(-0,2) \cdot 4 \le 5x + 2 \le 2 \cdot 4$

$-0,8 \le 5x + 2 \le 8$

Вычтем 2 из всех частей неравенства.

$-0,8 - 2 \le 5x \le 8 - 2$

$-2,8 \le 5x \le 6$

Разделим все части неравенства на 5.

$\frac{-2,8}{5} \le x \le \frac{6}{5}$

$-0,56 \le x \le 1,2$

Ответ: $x \in [-0,56; 1,2]$.

808. При каких значениях переменной x:

а) значения двучлена 0,5 – 0,2x принадлежат промежутку

б) значения дроби $\frac{20x+40}{3}$ принадлежат промежутку [–100; 100]?

а) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения двучлена $0,5 - 0,2x$ принадлежат промежутку $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$, необходимо решить двойное неравенство:

Для удобства вычислений преобразуем дроби в десятичный формат: $-\frac{1}{2} = -0,5$ и $\frac{1}{2} = 0,5$. Неравенство примет вид:

Вычтем $0,5$ из всех трёх частей неравенства:

Теперь разделим все части неравенства на $-0,2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

Запишем полученный результат в стандартном виде (от меньшего к большему):

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка $[0; 5]$.

Ответ: $x \in [0; 5]$.

б) Чтобы найти значения переменной $x$, при которых значения дроби $\frac{20x + 40}{3}$ принадлежат промежутку $[-100; 100]$, необходимо решить двойное неравенство:

Умножим все части неравенства на $3$, чтобы избавиться от знаменателя. Так как $3$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

Вычтем $40$ из всех частей неравенства:

Разделим все части неравенства на $20$. Так как $20$ — положительное число, знаки неравенства не изменяются:

Это означает, что переменная $x$ может принимать любые значения из отрезка $[-17; 13]$.

Ответ: $x \in [-17; 13]$.

809. Решите неравенство:

а) Решим неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$.
Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = -5$ и $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = 3$.
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), ветви параболы $y = x^2 + 2x - 15$ направлены вверх. Неравенство $x^2 + 2x - 15 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-5; 3)$.
Ответ: $(-5; 3)$.

б) Решим неравенство $5x^2 - 11x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0,2$ и $x_2 = \frac{11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 11x + 2$ направлены вверх ($a=5 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty; 0,2] \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0,2] \cup [2; +\infty)$.

в) Решим неравенство $10 - 3x^2 \le 5x - 2$.
Перенесем все члены в одну часть: $10 - 3x^2 - 5x + 2 \le 0$, что равносильно $-3x^2 - 5x + 12 \le 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $3x^2 + 5x - 12 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$.
Корни: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 13}{6} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 5x - 12$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[\frac{4}{3}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -3] \cup [\frac{4}{3}; +\infty)$.

г) Решим неравенство $(2x + 3)(2 - x) > 3$.
Раскроем скобки и преобразуем неравенство: $4x - 2x^2 + 6 - 3x > 3$, что приводит к $-2x^2 + x + 6 - 3 > 0$, или $-2x^2 + x + 3 > 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $2x^2 - x - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $x \in (-1; 1,5)$.
Ответ: $(-1; 1,5)$.

д) Решим неравенство $2x^2 - 0,5 \le 0$.
Это неполное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $2x^2 - 0,5 = 0$.
$2x^2 = 0,5$
$x^2 = 0,25$
$x_1 = -0,5$ и $x_2 = 0,5$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - 0,5$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их.
Следовательно, $x \in [-0,5; 0,5]$.
Ответ: $[-0,5; 0,5]$.

е) Решим неравенство $3x^2 + 3,6x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(3x + 3,6) > 0$.
Найдем корни уравнения $x(3x + 3,6) = 0$.
$x_1 = 0$ или $3x + 3,6 = 0 \implies 3x = -3,6 \implies x_2 = -1,2$.
Ветви параболы $y = 3x^2 + 3,6x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -1,2) \cup (0; +\infty)$.

ж) Решим неравенство $(0,2 - x)(0,2 + x) < 0$.
Используем формулу разности квадратов: $0,2^2 - x^2 < 0$, что равносильно $0,04 - x^2 < 0$.
Найдем корни уравнения $0,04 - x^2 = 0$.
$x^2 = 0,04$, откуда $x_1 = -0,2$ и $x_2 = 0,2$.
Ветви параболы $y = 0,04 - x^2$ направлены вниз ($a=-1 < 0$). Неравенство $< 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, $x \in (-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -0,2) \cup (0,2; +\infty)$.

з) Решим неравенство $x(3x - 2,4) > 0$.
Найдем корни соответствующего уравнения $x(3x - 2,4) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $3x - 2,4 = 0 \implies 3x = 2,4 \implies x_2 = 0,8$.
Раскрыв скобки, получим $3x^2 - 2,4x > 0$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 2,4x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется левее меньшего корня ($x=0$) и правее большего корня ($x=0,8$).
Следовательно, $x \in (-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0,8; +\infty)$.

и) Решим неравенство $x^2 - 0,5x - 5 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 - x - 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$.
Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 9}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$.
Ветви параболы $y = x^2 - 0,5x - 5$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $x \in (-2; 2,5)$.
Ответ: $(-2; 2,5)$.

к) Решим неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$.
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x + 12,5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12,5 = 4 - 50 = -46$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), значит, ветви параболы $y = x^2 - 2x + 12,5$ направлены вверх, и вся парабола расположена выше оси Ox.
Следовательно, неравенство $x^2 - 2x + 12,5 > 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.