Страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

822. Каково взаимное расположение графиков линейных функций:

В каждом случае изобразите схематически графики этих линейных функций.

Для определения взаимного расположения графиков двух линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$.

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \neq b_2$), то графики функций (прямые) параллельны.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \neq k_2$), то графики функций пересекаются в одной точке.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

а) $y = 7x + 16$ и $y = 7x - 25$

Для первой функции $y_1 = 7x + 16$, угловой коэффициент $k_1 = 7$ и свободный член $b_1 = 16$.Для второй функции $y_2 = 7x - 25$, угловой коэффициент $k_2 = 7$ и свободный член $b_2 = -25$.Так как $k_1 = k_2 = 7$ и $b_1 \neq b_2$ ($16 \neq -25$), графики данных функций параллельны.Оба графика являются возрастающими прямыми (так как $k > 0$). График $y = 7x + 16$ пересекает ось OY в точке $(0, 16)$, а график $y = 7x - 25$ — в точке $(0, -25)$.

Ответ: Графики функций параллельны.

б) $y = 3,5x - 4$ и $y = -5x - 4$

Для первой функции $y_1 = 3,5x - 4$, угловой коэффициент $k_1 = 3,5$ и свободный член $b_1 = -4$.Для второй функции $y_2 = -5x - 4$, угловой коэффициент $k_2 = -5$ и свободный член $b_2 = -4$.Так как $k_1 \neq k_2$ ($3,5 \neq -5$), графики данных функций пересекаются.Поскольку $b_1 = b_2 = -4$, точка пересечения лежит на оси OY и имеет координаты $(0, -4)$.График $y = 3,5x - 4$ — возрастающая прямая ($k_1 > 0$), а график $y = -5x - 4$ — убывающая прямая ($k_2 < 0$).

Ответ: Графики функций пересекаются.

в) $y = -2,8x$ и $y = -2,8x + 11$

Для первой функции $y_1 = -2,8x$, угловой коэффициент $k_1 = -2,8$ и свободный член $b_1 = 0$.Для второй функции $y_2 = -2,8x + 11$, угловой коэффициент $k_2 = -2,8$ и свободный член $b_2 = 11$.Так как $k_1 = k_2 = -2,8$ и $b_1 \neq b_2$ ($0 \neq 11$), графики данных функций параллельны.Оба графика являются убывающими прямыми (так как $k < 0$). График $y = -2,8x$ проходит через начало координат $(0, 0)$, а график $y = -2,8x + 11$ пересекает ось OY в точке $(0, 11)$.

Ответ: Графики функций параллельны.

г) $y = 0,6x + 8$ и $y = -0,6x$

Для первой функции $y_1 = 0,6x + 8$, угловой коэффициент $k_1 = 0,6$ и свободный член $b_1 = 8$.Для второй функции $y_2 = -0,6x$, угловой коэффициент $k_2 = -0,6$ и свободный член $b_2 = 0$.Так как $k_1 \neq k_2$ ($0,6 \neq -0,6$), графики данных функций пересекаются.График $y = 0,6x + 8$ — возрастающая прямая ($k_1 > 0$), пересекающая ось OY в точке $(0, 8)$. График $y = -0,6x$ — убывающая прямая ($k_2 < 0$), проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Графики функций пересекаются.

823. Функция задана формулой y = –x² + 3. Какова область определения этой функции? Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно –1; 1; 5? Постройте график этой функции и укажите множество её значений.

Область определения функции

Функция задана формулой $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, которая является многочленом. Выражение $-x^2 + 3$ определено для любых действительных значений аргумента $x$, так как операции возведения в квадрат, умножения и сложения выполнимы для всех действительных чисел. В функции отсутствуют операции, которые могли бы ограничить область определения (например, деление на переменную или извлечение корня четной степени из переменного выражения).

Ответ: Область определения функции — множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдётся ли такое значение аргумента, при котором значение этой функции равно -1; 1; 5?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить уравнение $y = -x^2 + 3$ для каждого из предложенных значений $y$.

1. Пусть $y = -1$:
$-1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 + 1$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.
Следовательно, при $x=2$ и $x=-2$ значение функции равно -1.

2. Пусть $y = 1$:
$1 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 1$
$x^2 = 2$
$x = \pm \sqrt{2}$.
Следовательно, при $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}$ значение функции равно 1.

3. Пусть $y = 5$:
$5 = -x^2 + 3$
$x^2 = 3 - 5$
$x^2 = -2$.
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: Да, найдётся: значение функции равно -1 при $x = \pm 2$ и равно 1 при $x = \pm \sqrt{2}$. Не существует такого значения аргумента, при котором значение функции было бы равно 5.

Постройте график этой функции и укажите множество её значений

Построение графика:
Графиком функции $y = -x^2 + 3$ является парабола. Для её построения определим ключевые параметры и точки.

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицателен, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для $y = -x^2 + 3$ имеем $a=-1, b=0, c=3$.
   $x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
   $y_v = -(0)^2 + 3 = 3$.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
3. Точки пересечения с осями.
   - С осью OY: при $x=0, y=3$. Точка $(0, 3)$.
   - С осью OX: при $y=0$, получаем $0 = -x^2 + 3$, откуда $x^2=3$, то есть $x = \pm\sqrt{3}$. Точки $(-\sqrt{3}, 0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.
4. Дополнительные точки. Для большей точности построения используем найденные ранее точки:
   - Если $x = \pm 1$, то $y = -(\pm 1)^2 + 3 = 2$. Точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.
   - Если $x = \pm 2$, то $y = -(\pm 2)^2 + 3 = -1$. Точки $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.

Построив на координатной плоскости вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки, соединяем их плавной линией, получая параболу.

Множество значений функции:
Так как график функции — парабола с ветвями, направленными вниз, и её вершина находится в точке $(0, 3)$, то максимальное значение функции равно 3. Функция принимает все значения от $-\infty$ до 3 включительно.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 3)$ и ветвями, направленными вниз. Множество значений функции: $E(y) = (-\infty; 3]$.

824. Постройте график функции y = –0,5x² + x + 1,5. При каких значениях x значение y равно нулю; больше нуля; меньше нуля? На каком промежутке эта функция возрастает и на каком промежутке убывает? Каково наибольшее значение этой функции?

Для того чтобы построить график функции $y = -0,5x^2 + x + 1,5$ и ответить на поставленные вопросы, необходимо исследовать эту функцию.

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при старшем члене $a = -0,5$ отрицателен, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Для нашей функции $a=-0,5$ и $b=1$.
$x_0 = \frac{-1}{2 \cdot (-0,5)} = \frac{-1}{-1} = 1$.
Чтобы найти $y_0$, подставим $x_0=1$ в уравнение функции:
$y_0 = -0,5(1)^2 + 1 + 1,5 = -0,5 + 1 + 1,5 = 2$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; 2)$.

3. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
Точка пересечения с осью $Oy$ находится при $x=0$:
$y = -0,5(0)^2 + 0 + 1,5 = 1,5$.
Точка пересечения — $(0; 1,5)$.
Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся при $y=0$. Для этого решим квадратное уравнение:
$-0,5x^2 + x + 1,5 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -2 для удобства вычислений:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Точки пересечения с осью $Ox$ — $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

4. Для построения графика мы используем найденные точки: вершину $(1; 2)$, точки пересечения с осями $(-1; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 1,5)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=1$. Используя симметрию, находим еще одну точку: точка, симметричная точке $(0; 1,5)$ относительно оси $x=1$, будет иметь координаты $(2; 1,5)$. Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

Теперь, основываясь на проведенном анализе, ответим на вопросы.

При каких значениях x значение y равно нулю; больше нуля; меньше нуля?

Значение $y$ равно нулю в нулях функции, которые мы нашли ранее. Это происходит, когда график пересекает ось $Ox$.
$y=0$ при $x=-1$ и $x=3$.
Значение $y$ больше нуля ($y>0$), когда график функции расположен выше оси $Ox$. Так как ветви параболы направлены вниз, это интервал между корнями.
$y>0$ при $x \in (-1; 3)$.
Значение $y$ меньше нуля ($y<0$), когда график функции расположен ниже оси $Ox$. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
$y<0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y=0$ при $x=-1$ и $x=3$; $y>0$ при $x \in (-1; 3)$; $y<0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

На каком промежутке эта функция возрастает и на каком промежутке убывает?

Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до своей вершины и убывает на промежутке после нее. Абсцисса вершины $x_0=1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$.

Каково наибольшее значение этой функции?

Наибольшее значение функции достигается в ее вершине, поскольку ветви параболы направлены вниз. Ордината вершины $y_0 = 2$.
Следовательно, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.
Ответ: наибольшее значение функции равно 2.

825. Постройте график функции y = x² – 4x – 5. При каких значениях x функция принимает отрицательные значения? Какие значения принимает функция, если 0 ≤ x ≤ 4?

Построение графика функции $y = x^2 - 4x - 5$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$:
$y_0 = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY (абсцисса $x=0$):
$y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с осью OY: $(0, -5)$.
С осью OX (ордината $y=0$):
$x^2 - 4x - 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.
Ось симметрии параболы — прямая $x=2$. Найдем точку, симметричную точке $(0, -5)$ относительно этой оси. Ее абсцисса будет $x = 4$. Значение функции в этой точке: $y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Точка $(4, -5)$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 - 5 = 1 - 4 - 5 = -8$. Точка $(1, -8)$.
Симметричная ей точка будет при $x=3$: $y(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 - 5 = 9 - 12 - 5 = -8$. Точка $(3, -8)$.

Теперь можно построить график, используя найденные точки: вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$, $(0, -5)$ и дополнительные точки $(4, -5)$, $(1, -8)$, $(3, -8)$.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4x - 5$ — это парабола с вершиной в точке $(2, -9)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$ и ось OY в точке $(0, -5)$.

При каких значениях $x$ функция принимает отрицательные значения?

Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси OX. Из предыдущего анализа мы знаем, что парабола пересекает ось OX в точках $x = -1$ и $x = 5$, и ее ветви направлены вверх. Следовательно, значения функции будут отрицательными на интервале между точками пересечения.

Необходимо решить неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$. Корнями уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Так как это парабола ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Ответ: Функция принимает отрицательные значения при $x \in (-1, 5)$.

Какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$?

Необходимо найти область значений функции на отрезке $[0, 4]$. Это значит, нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на этом отрезке.

1. Наименьшее значение.
Вершина параболы $x_0=2$ принадлежит отрезку $[0, 4]$. Так как ветви параболы направлены вверх, то в вершине функция достигает своего наименьшего значения. $y_{min} = y(2) = -9$.

2. Наибольшее значение.
Наибольшее значение на отрезке для параболы с вершиной внутри этого отрезка достигается на одном из его концов. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$.
$y(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$.
Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 4]$ равно $-5$.

Таким образом, когда $x$ изменяется от $0$ до $4$, значения функции $y$ изменяются от $-9$ (включительно) до $-5$ (включительно).

Ответ: Если $0 \le x \le 4$, то функция принимает значения из отрезка $[-9, -5]$, то есть $-9 \le y \le -5$.

826. Постройте график функции:

В каждом случае укажите наименьшее (или наибольшее) значение функции.

а) $y = 2x^2 - 2$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = 2(0)^2 - 2 = -2$.
Вершина находится в точке $(0, -2)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=0$ (ось OY).

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=-2$. Точка пересечения $(0, -2)$, что совпадает с вершиной.
С осью OX: при $y=0$, имеем $2x^2 - 2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1, x_2 = 1$.
Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для построения.
Возьмем $x=2$, тогда $y = 2(2)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
В силу симметрии относительно оси $x=0$, при $x=-2$ значение $y$ будет таким же: $y=6$. Точка $(-2, 6)$.

Для построения графика отмечаем на координатной плоскости вершину $(0, -2)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и дополнительные точки $(-2, 6)$, $(2, 6)$, после чего плавно соединяем их линией.

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы и равно ее ординате.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -2$.

б) $y = -x^2 + 1,5$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.
Ордината вершины: $y_0 = y(x_0) = -(0)^2 + 1,5 = 1,5$.
Вершина находится в точке $(0, 1,5)$. Ось симметрии — прямая $x=0$.

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат.
С осью OY: при $x=0$, $y=1,5$. Точка пересечения $(0, 1,5)$ (вершина).
С осью OX: при $y=0$, имеем $-x^2 + 1,5 = 0 \Rightarrow x^2 = 1,5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1,5} \approx \pm 1,22$.
Точки пересечения с осью OX: $(-\sqrt{1,5}, 0)$ и $(\sqrt{1,5}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.
При $x=1$, $y = -(1)^2 + 1,5 = 0,5$. Точка $(1, 0,5)$.
При $x=2$, $y = -(2)^2 + 1,5 = -4 + 1,5 = -2,5$. Точка $(2, -2,5)$.
В силу симметрии, получаем точки $(-1, 0,5)$ и $(-2, -2,5)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(0, 1,5)$, точки пересечения с осью OX $(\approx-1,22; 0)$ и $(\approx1,22; 0)$, а также дополнительные точки $(1, 0,5)$, $(-1, 0,5)$, $(2, -2,5)$, $(-2, -2,5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы.

Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = 1,5$.

в) $y = x^2 - 4x$

График функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как $a=1 > 0$. Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
$y_0 = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.
Вершина: $(2, -4)$. Ось симметрии: $x=2$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=4$.
Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

3. Дополнительные точки.
При $x=1$, $y = 1^2 - 4(1) = -3$. Точка $(1, -3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=2$ будет $(3, -3)$. Проверим: $y=3^2-4(3)=9-12=-3$.

Для построения графика отмечаем вершину $(2, -4)$, точки $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(1, -3)$, $(3, -3)$ и соединяем их.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -4$.

г) $y = 1,5x^2 + 6x$

График — парабола с ветвями вверх ($a=1,5 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1,5} = -\frac{6}{3} = -2$.
$y_0 = 1,5(-2)^2 + 6(-2) = 1,5 \cdot 4 - 12 = 6 - 12 = -6$.
Вершина: $(-2, -6)$. Ось симметрии: $x=-2$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: при $y=0$, $1,5x^2 + 6x = 0 \Rightarrow x(1,5x+6)=0 \Rightarrow x_1=0$ или $1,5x=-6 \Rightarrow x_2=-4$.
Точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

3. Дополнительные точки.
При $x=-1$, $y = 1,5(-1)^2 + 6(-1) = 1,5 - 6 = -4,5$. Точка $(-1, -4,5)$.
Симметричная точка: $(-3, -4,5)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-2, -6)$, точки $(0, 0)$, $(-4, 0)$, $(-1, -4,5)$, $(-3, -4,5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -6$.

д) $y = x^2 + x - 6$

График — парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0,5$.
$y_0 = (-0,5)^2 + (-0,5) - 6 = 0,25 - 0,5 - 6 = -6,25$.
Вершина: $(-0,5; -6,25)$. Ось симметрии: $x=-0,5$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=-6$. Точка $(0, -6)$.
С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=-3$.
Точки $(2, 0)$ и $(-3, 0)$.

3. Дополнительные точки.
Из симметрии относительно оси $x=-0,5$ для точки $(0, -6)$ находим симметричную точку $(-1, -6)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(-0,5; -6,25)$, точки $(2, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, -6)$, $(-1, -6)$ и соединяем их.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = -6,25$.

е) $y = 3x^2 - 6x + 5$

График — парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Функция имеет наименьшее значение.

1. Найдем координаты вершины.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
$y_0 = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$.
Вершина: $(1, 2)$. Ось симметрии: $x=1$.

2. Найдем точки пересечения с осями.
С осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
С осью OX: при $y=0$, $3x^2 - 6x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1,2)$ и ветви направлены вверх.

3. Дополнительные точки.
Используем точку $(0, 5)$ и ось симметрии $x=1$, чтобы найти симметричную ей точку $(2, 5)$.
При $x=3$, $y = 3(3)^2 - 6(3) + 5 = 27 - 18 + 5 = 14$. Точка $(3, 14)$.

Для построения графика отмечаем вершину $(1, 2)$, точки $(0, 5)$, $(2, 5)$ и соединяем их плавной кривой.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 2$.

827. На каком промежутке возрастает и на каком убывает квадратичная функция:

а) $y = 2x^2 + 10x - 7$
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до точки вершины, а затем возрастает.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В данном случае $a=2$, $b=10$.
$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -2.5]$ и возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2.5]$.

б) $y = -3x^2 + x + 5$
Это квадратичная функция с коэффициентом $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция сначала возрастает до точки вершины, а затем убывает.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=-3$, $b=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}; +\infty)$.

в) $y = 4x^2 + 2x$
Коэффициент $a = 4 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=4$, $b=2$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.25]$ и возрастает на промежутке $[-0.25; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.25; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -0.25]$.

г) $y = 3x - 5x^2$
Запишем функцию в стандартном виде: $y = -5x^2 + 3x$. Коэффициент $a = -5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины и убывает после.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=-5$, $b=3$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{-10} = \frac{3}{10} = 0.3$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3; +\infty)$.

828. Постройте график функции:

В каждом случае укажите значения x, при которых y › 0; y ‹ 0.

а)

Функция $y = \frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=8$. Поскольку $k > 0$, график функции представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Для построения графика составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

Определим значения $x$, при которых $y>0$ и $y<0$:

• Неравенство $y > 0$ равносильно неравенству $\frac{8}{x} > 0$. Так как числитель $8$ положителен, дробь будет положительна, если ее знаменатель также положителен, то есть $x > 0$.
• Неравенство $y < 0$ равносильно неравенству $\frac{8}{x} < 0$. Так как числитель $8$ положителен, дробь будет отрицательна, если ее знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

б)

Функция $y = -\frac{3}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-3$. Поскольку $k < 0$, график функции представляет собой гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Для построения графика составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

Определим значения $x$, при которых $y>0$ и $y<0$:

• Неравенство $y > 0$ равносильно неравенству $-\frac{3}{x} > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $\frac{3}{x} < 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет отрицательна, если ее знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.
• Неравенство $y < 0$ равносильно неравенству $-\frac{3}{x} < 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $\frac{3}{x} > 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет положительна, если ее знаменатель также положителен, то есть $x > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

829. Изобразите схематически график функции:

а) $y = ax + 5$ при $a < 0$

Это линейная функция вида $y=kx+b$. В данном случае угловой коэффициент $k=a$ и свободный член $b=5$.
По условию $a < 0$, это означает, что угловой коэффициент отрицателен. График такой функции — убывающая прямая, то есть она наклонена вниз, если смотреть слева направо.
Свободный член равен 5, это означает, что прямая пересекает ось ординат (ось Y) в точке с координатами $(0, 5)$.
Найдем точку пересечения с осью абсцисс (ось X), приравняв $y$ к нулю: $0 = ax + 5 \Rightarrow ax = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{a}$. Так как $a < 0$, то значение $x$ будет положительным.
Таким образом, график — это прямая, проходящая через точку $(0, 5)$ на оси Y и некоторую положительную точку на оси X. Прямая проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График — прямая линия, которая убывает и пересекает ось Y в точке $(0, 5)$.

б) $y = 10x + b$ при $b > 0$

Это также линейная функция $y=kx+m$. Здесь угловой коэффициент $k=10$, а свободный член $m=b$.
Угловой коэффициент $k=10 > 0$, следовательно, функция возрастает, и ее график — прямая, наклоненная вверх при движении слева направо.
Свободный член $b$ по условию положителен ($b > 0$). Это означает, что прямая пересекает ось Y в точке $(0, b)$, которая находится выше оси X.
Найдем точку пересечения с осью X: $0 = 10x + b \Rightarrow 10x = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{10}$. Так как $b > 0$, то значение $x$ будет отрицательным.
Следовательно, график — это прямая, проходящая через положительную точку на оси Y и отрицательную точку на оси X. Прямая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График — прямая линия, которая возрастает и пересекает ось Y в точке $(0, b)$ при $b > 0$.

в) $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$

Это функция обратной пропорциональности. Ее график называется гиперболой.
По условию коэффициент $k > 0$. В этом случае ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
В I четверти $x > 0$ и $y > 0$. В III четверти $x < 0$ и $y < 0$.
Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика, то есть ветви гиперболы бесконечно к ним приближаются, но не пересекают.

Ответ: График — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

г) $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$

Это также функция обратной пропорциональности, график — гипербола.
По условию коэффициент $k < 0$. В этом случае ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
Во II четверти $x < 0$ и $y > 0$. В IV четверти $x > 0$ и $y < 0$.
Асимптотами графика являются оси координат.

Ответ: График — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

д) $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$

Это квадратичная функция, ее график — парабола.
Данная парабола получена из графика функции $y = ax^2$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Y.
По условию, старший коэффициент $a > 0$, что означает, что ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$. Так как вершина находится ниже оси X, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось X в двух точках.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -3)$.

е) $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$

Это квадратичная функция, ее график — парабола.
График получен из $y = ax^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Y.
По условию, старший коэффициент $a < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Так как вершина находится выше оси X, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось X в двух точках.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$.

ж) $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$

Это квадратичная функция, график — парабола.
Поскольку свободный член $c=0$, парабола проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
Старший коэффициент $a > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $x_v < 0$.
Ордината вершины: $y_v = a(x_v)^2 + bx_v = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $a > 0$, то $y_v < 0$.
Вершина параболы находится в III координатной четверти.
Парабола пересекает ось X в точках, где $y=0$: $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $a>0, b>0$, то $x_2 < 0$.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вверх, проходящая через начало координат. Вершина параболы находится в третьей четверти.

з) $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$

Это квадратичная функция, график — парабола.
Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$, так как свободный член равен нулю.
Старший коэффициент $a < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Так как $a < 0$ и $b > 0$, то $2a < 0$, и дробь $\frac{b}{2a}$ отрицательна. Следовательно, $x_v = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Ордината вершины: $y_v = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $a < 0$, то $4a < 0$, и дробь $\frac{b^2}{4a}$ отрицательна. Следовательно, $y_v = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Вершина параболы находится в I координатной четверти.
Точки пересечения с осью X: $x(ax+b)=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $a<0, b>0$, то $x_2 > 0$.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вниз, проходящая через начало координат. Вершина параболы находится в первой четверти.

830. Вычислите координаты точек пересечения графиков функций:

Для нахождения координат точек пересечения графиков двух функций необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций. Это эквивалентно приравниванию правых частей уравнений и нахождению значения переменной $x$, а затем вычислению соответствующего значения $y$.

а) Даны функции $y = 2x - 11$ и $y = -5x + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 11 = -5x + 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x + 5x = 3 + 11$

$7x = 14$

$x = \frac{14}{7} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Например, в первое:

$y = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7$

Координаты точки пересечения — $(2, -7)$.

Ответ: $(2, -7)$

б) Даны функции $y = -3x - 10$ и $y = x^2 - 13x + 6$.

Приравняем правые части уравнений:

$-3x - 10 = x^2 - 13x + 6$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 13x + 3x + 6 + 10 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $10$, а произведение равно $16$. Корни — это $x_1 = 2$ и $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = -3(2) - 10 = -6 - 10 = -16$

Первая точка пересечения — $(2, -16)$.

При $x_2 = 8$:

$y_2 = -3(8) - 10 = -24 - 10 = -34$

Вторая точка пересечения — $(8, -34)$.

Ответ: $(2, -16)$ и $(8, -34)$

в) Даны функции $y = -3x^2 + x - 3$ и $y = -x^2 + x - 5$.

Приравняем правые части уравнений:

$-3x^2 + x - 3 = -x^2 + x - 5$

Соберем слагаемые с $x^2$ в левой части, а свободные члены — в правой. Слагаемые с $x$ взаимно уничтожаются.

$-3x^2 + x^2 = -5 + 3$

$-2x^2 = -2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, подставив их в уравнение $y = -x^2 + x - 5$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = -(1)^2 + 1 - 5 = -1 + 1 - 5 = -5$

Первая точка пересечения — $(1, -5)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = -(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 1 - 5 = -7$

Вторая точка пересечения — $(-1, -7)$.

Ответ: $(1, -5)$ и $(-1, -7)$

г) Даны функции $y = 4x^2 + 3x + 6$ и $y = 3x^2 - 3x - 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$4x^2 + 3x + 6 = 3x^2 - 3x - 3$

Перенесем все члены в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 + 3x + 3x + 6 + 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x + 3)^2 = 0$

Уравнение имеет один корень (кратности 2): $x = -3$. Это означает, что параболы касаются в одной точке.

Найдем значение $y$, подставив $x = -3$ в любое из исходных уравнений. Возьмем второе:

$y = 3(-3)^2 - 3(-3) - 3 = 3(9) + 9 - 3 = 27 + 9 - 3 = 33$

Координаты точки касания (пересечения) — $(-3, 33)$.

Ответ: $(-3, 33)$