Номер 828, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 828, страница 207.

Условие.

828. Постройте график функции:

В каждом случае укажите значения x, при которых y › 0; y ‹ 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Функция $y = \frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=8$. Поскольку $k > 0$, график функции представляет собой гиперболу, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Для построения графика составим таблицу значений:

$x$	1	2	4	8	-1	-2	-4	-8
$y$	8	4	2	1	-8	-4	-2	-1

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

Определим значения $x$, при которых $y>0$ и $y<0$:

• Неравенство $y > 0$ равносильно неравенству $\frac{8}{x} > 0$. Так как числитель $8$ положителен, дробь будет положительна, если ее знаменатель также положителен, то есть $x > 0$.
• Неравенство $y < 0$ равносильно неравенству $\frac{8}{x} < 0$. Так как числитель $8$ положителен, дробь будет отрицательна, если ее знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

---

б)

Функция $y = -\frac{3}{x}$ является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-3$. Поскольку $k < 0$, график функции представляет собой гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Область определения функции: все действительные числа, кроме $x=0$. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Для построения графика составим таблицу значений:

$x$	1	1,5	3	6	-1	-1,5	-3	-6
$y$	-3	-2	-1	-0,5	3	2	1	0,5

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции.

Определим значения $x$, при которых $y>0$ и $y<0$:

• Неравенство $y > 0$ равносильно неравенству $-\frac{3}{x} > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $\frac{3}{x} < 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет отрицательна, если ее знаменатель отрицателен, то есть $x < 0$.
• Неравенство $y < 0$ равносильно неравенству $-\frac{3}{x} < 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства, получим $\frac{3}{x} > 0$. Так как числитель $3$ положителен, дробь будет положительна, если ее знаменатель также положителен, то есть $x > 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.