Номер 835, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 835, страница 208.

Условие.

835. Найдите область определения и множество значений функции:

Решение 1.

Решение 8.

а) $f(x) = x^2 - 10x - 17$

Область определения:
Функция $f(x)$ является квадратичным многочленом. Многочлены определены для всех действительных значений аргумента $x$, так как их вычисление не предполагает операций, имеющих ограничения (таких как деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа).
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений:
График функции — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Это значит, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.
Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.
Ордината вершины, являющаяся наименьшим значением функции, находится подстановкой $x_v$ в функцию:
$y_v = f(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 - 17 = 25 - 50 - 17 = -42$.
Также можно найти наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$f(x) = x^2 - 10x - 17 = (x^2 - 10x + 25) - 25 - 17 = (x-5)^2 - 42$.
Поскольку выражение $(x-5)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x-5)^2 \ge 0$, минимальное значение функции равно $-42$.
Таким образом, множество значений функции — это все числа от $-42$ включительно до $+\infty$.

Ответ: Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Множество значений: $E(f) = [-42; +\infty)$.

б) $g(x) = \frac{1}{|x| - x}$

Область определения:
Функция определена, когда ее знаменатель не равен нулю.
$|x| - x \neq 0 \implies |x| \neq x$.
Равенство $|x| = x$ выполняется для всех неотрицательных чисел, то есть при $x \ge 0$.
Следовательно, условие $|x| \neq x$ выполняется только для строго отрицательных чисел: $x < 0$.
Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty; 0)$.

Множество значений:
Рассмотрим функцию на ее области определения, то есть при $x < 0$.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Подставим это выражение в функцию:
$g(x) = \frac{1}{-x - x} = \frac{1}{-2x}$.
Проанализируем выражение $y = \frac{1}{-2x}$ при $x < 0$.
Поскольку $x$ принимает отрицательные значения, знаменатель $-2x$ всегда будет положительным. Следовательно, значение функции $g(x)$ также всегда будет положительным.
Рассмотрим поведение функции на границах области определения:

• Когда $x$ стремится к $0$ слева ($x \to 0^-$), знаменатель $-2x$ стремится к $0$ справа ($0^+$), а значение функции $g(x)$ стремится к $+\infty$.
• Когда $x$ стремится к $-\infty$, знаменатель $-2x$ стремится к $+\infty$, а значение функции $g(x)$ стремится к $0$ (оставаясь положительным).

Так как функция непрерывна на всей своей области определения, она принимает все значения в интервале от $0$ до $+\infty$, не включая $0$.

Ответ: Область определения: $D(g) = (-\infty; 0)$. Множество значений: $E(g) = (0; +\infty)$.