Номер 836, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 836, страница 209.

Условие.

836. Найдите корни многочлена

2x⁵ + x⁴ – 10x³ – 5x² + 8x + 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти корни многочлена $2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение:

$2x^5 + x^4 - 10x^3 - 5x^2 + 8x + 4 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

$(2x^5 + x^4) - (10x^3 + 5x^2) + (8x + 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:

$x^4(2x + 1) - 5x^2(2x + 1) + 4(2x + 1) = 0$

Видим, что у всех слагаемых есть общий множитель $(2x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2x + 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

1) $2x + 1 = 0$

2) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Решим первое уравнение:

$2x = -1$

$x_1 = -\frac{1}{2}$

Теперь решим второе уравнение. Это биквадратное уравнение. Для его решения сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно переменной $y$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = 4$

Оба корня неотрицательны, поэтому удовлетворяют условию $y \ge 0$. Теперь выполним обратную замену:

Для $y_1 = 1$:

$x^2 = 1$

$x_{2,3} = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Для $y_2 = 4$:

$x^2 = 4$

$x_{4,5} = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_4 = 2$ и $x_5 = -2$.

Таким образом, мы нашли все пять корней исходного многочлена: $-\frac{1}{2}, 1, -1, 2, -2$.

Ответ: $-2; -1; -\frac{1}{2}; 1; 2$.