Номер 829, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Упражнения для повторения курса 7-9 классов. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 829, страница 207.

Условие.

829. Изобразите схематически график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = ax + 5$ при $a < 0$

Это линейная функция вида $y=kx+b$. В данном случае угловой коэффициент $k=a$ и свободный член $b=5$.
По условию $a < 0$, это означает, что угловой коэффициент отрицателен. График такой функции — убывающая прямая, то есть она наклонена вниз, если смотреть слева направо.
Свободный член равен 5, это означает, что прямая пересекает ось ординат (ось Y) в точке с координатами $(0, 5)$.
Найдем точку пересечения с осью абсцисс (ось X), приравняв $y$ к нулю: $0 = ax + 5 \Rightarrow ax = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{a}$. Так как $a < 0$, то значение $x$ будет положительным.
Таким образом, график — это прямая, проходящая через точку $(0, 5)$ на оси Y и некоторую положительную точку на оси X. Прямая проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График — прямая линия, которая убывает и пересекает ось Y в точке $(0, 5)$.

б) $y = 10x + b$ при $b > 0$

Это также линейная функция $y=kx+m$. Здесь угловой коэффициент $k=10$, а свободный член $m=b$.
Угловой коэффициент $k=10 > 0$, следовательно, функция возрастает, и ее график — прямая, наклоненная вверх при движении слева направо.
Свободный член $b$ по условию положителен ($b > 0$). Это означает, что прямая пересекает ось Y в точке $(0, b)$, которая находится выше оси X.
Найдем точку пересечения с осью X: $0 = 10x + b \Rightarrow 10x = -b \Rightarrow x = -\frac{b}{10}$. Так как $b > 0$, то значение $x$ будет отрицательным.
Следовательно, график — это прямая, проходящая через положительную точку на оси Y и отрицательную точку на оси X. Прямая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ: График — прямая линия, которая возрастает и пересекает ось Y в точке $(0, b)$ при $b > 0$.

в) $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$

Это функция обратной пропорциональности. Ее график называется гиперболой.
По условию коэффициент $k > 0$. В этом случае ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
В I четверти $x > 0$ и $y > 0$. В III четверти $x < 0$ и $y < 0$.
Оси координат (прямые $x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика, то есть ветви гиперболы бесконечно к ним приближаются, но не пересекают.

Ответ: График — гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

г) $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$

Это также функция обратной пропорциональности, график — гипербола.
По условию коэффициент $k < 0$. В этом случае ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
Во II четверти $x < 0$ и $y > 0$. В IV четверти $x > 0$ и $y < 0$.
Асимптотами графика являются оси координат.

Ответ: График — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

д) $y = ax^2 - 3$ при $a > 0$

Это квадратичная функция, ее график — парабола.
Данная парабола получена из графика функции $y = ax^2$ сдвигом на 3 единицы вниз вдоль оси Y.
По условию, старший коэффициент $a > 0$, что означает, что ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$. Так как вершина находится ниже оси X, а ветви направлены вверх, парабола пересекает ось X в двух точках.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -3)$.

е) $y = ax^2 + 2$ при $a < 0$

Это квадратичная функция, ее график — парабола.
График получен из $y = ax^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Y.
По условию, старший коэффициент $a < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Так как вершина находится выше оси X, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось X в двух точках.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$.

ж) $y = ax^2 + bx$ при $a > 0, b > 0$

Это квадратичная функция, график — парабола.
Поскольку свободный член $c=0$, парабола проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
Старший коэффициент $a > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $x_v < 0$.
Ордината вершины: $y_v = a(x_v)^2 + bx_v = a(-\frac{b}{2a})^2 + b(-\frac{b}{2a}) = \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $a > 0$, то $y_v < 0$.
Вершина параболы находится в III координатной четверти.
Парабола пересекает ось X в точках, где $y=0$: $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0$. Корни: $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $a>0, b>0$, то $x_2 < 0$.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вверх, проходящая через начало координат. Вершина параболы находится в третьей четверти.

з) $y = ax^2 + bx$ при $a < 0, b > 0$

Это квадратичная функция, график — парабола.
Парабола проходит через начало координат $(0, 0)$, так как свободный член равен нулю.
Старший коэффициент $a < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдем координаты вершины. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a}$. Так как $a < 0$ и $b > 0$, то $2a < 0$, и дробь $\frac{b}{2a}$ отрицательна. Следовательно, $x_v = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Ордината вершины: $y_v = -\frac{b^2}{4a}$. Так как $a < 0$, то $4a < 0$, и дробь $\frac{b^2}{4a}$ отрицательна. Следовательно, $y_v = -(\text{отрицательное число}) > 0$.
Вершина параболы находится в I координатной четверти.
Точки пересечения с осью X: $x(ax+b)=0 \Rightarrow x_1=0$ и $x_2 = -\frac{b}{a}$. Так как $a<0, b>0$, то $x_2 > 0$.

Ответ: График — парабола с ветвями, направленными вниз, проходящая через начало координат. Вершина параболы находится в первой четверти.