Номер 827, страница 207 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 827, страница 207.

Условие.

827. На каком промежутке возрастает и на каком убывает квадратичная функция:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = 2x^2 + 10x - 7$
Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция сначала убывает до точки вершины, а затем возрастает.
Абсцисса вершины параболы $x_0$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В данном случае $a=2$, $b=10$.
$x_0 = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -2.5]$ и возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2.5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -2.5]$.

б) $y = -3x^2 + x + 5$
Это квадратичная функция с коэффициентом $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция сначала возрастает до точки вершины, а затем убывает.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=-3$, $b=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; \frac{1}{6}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{6}; +\infty)$.

в) $y = 4x^2 + 2x$
Коэффициент $a = 4 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=4$, $b=2$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} = -0.25$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.25]$ и возрастает на промежутке $[-0.25; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-0.25; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -0.25]$.

г) $y = 3x - 5x^2$
Запишем функцию в стандартном виде: $y = -5x^2 + 3x$. Коэффициент $a = -5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины и убывает после.
Найдем абсциссу вершины. Здесь $a=-5$, $b=3$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-5)} = -\frac{3}{-10} = \frac{3}{10} = 0.3$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.3]$ и убывает на промежутке $[0.3; +\infty)$.