Номер 832, страница 208 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Упражнения для повторения курса 7-9 классов - номер 832, страница 208.

Условие.

832. Постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Упрощаем выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Подставим разложенный числитель в исходное уравнение:

$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$

3. При $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 2)$. В результате получаем линейную функцию:

$y = x + 2$

4. Графиком функции является прямая $y = x + 2$. Однако, поскольку исходная функция не определена в точке $x = 2$, на графике будет "выколотая" точка. Чтобы найти ее координаты, подставим $x = 2$ в упрощенное уравнение прямой: $y = 2 + 2 = 4$.

Следовательно, точка с координатами $(2, 4)$ не принадлежит графику.

5. Для построения графика прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 2$ (точка $(0, 2)$), а если $x = -2$, то $y = 0$ (точка $(-2, 0)$). Проводим прямую через эти две точки и отмечаем на ней точку $(2, 4)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2, 4)$.

б) $y = \frac{x^2 - 2x}{x}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

2. Упрощаем выражение. В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

Функция принимает вид:

$y = \frac{x(x - 2)}{x}$

3. При $x \neq 0$ сокращаем дробь на $x$ и получаем линейную функцию:

$y = x - 2$

4. Графиком данной функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой при $x = 0$. Найдем координаты этой точки, подставив $x = 0$ в упрощенное уравнение: $y = 0 - 2 = -2$.

Следовательно, точка с координатами $(0, -2)$ не принадлежит графику.

5. Для построения прямой $y = x - 2$ возьмем две точки. Например, если $x = 2$, то $y = 0$ (точка $(2, 0)$), а если $x = 1$, то $y = -1$ (точка $(1, -1)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(0, -2)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(0, -2)$.

в) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x}$

1. Находим область определения функции. Знаменатель $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=2$.

2. Упрощаем выражение. Разложим числитель, квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$, на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{2 - x}$

3. Заметим, что множитель в числителе $(x - 2)$ и знаменатель $(2 - x)$ отличаются только знаком: $(x - 2) = -(2 - x)$. Перепишем функцию:

$y = \frac{(x - 1)(-(2 - x))}{2 - x}$

При $x \neq 2$ сокращаем дробь на $(2 - x)$ и получаем:

$y = -(x - 1) = -x + 1$

4. Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой при $x = 2$. Найдем ее координаты: $y = -2 + 1 = -1$.

Следовательно, точка с координатами $(2, -1)$ не принадлежит графику.

5. Для построения прямой $y = -x + 1$ найдем две точки. Например, если $x = 0$, то $y = 1$ (точка $(0, 1)$), а если $x = 1$, то $y = 0$ (точка $(1, 0)$). Проводим прямую через эти точки и отмечаем на ней выколотую точку $(2, -1)$ пустым кружком.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = -x + 1$ с выколотой точкой $(2, -1)$.