Номер 838, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

838. Докажите, что многочлен x⁴ – 4x³ – 6x² – 3x + 9 не имеет отрицательных корней.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x) = x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 3x + 9$ не имеет отрицательных корней, необходимо показать, что для любого отрицательного числа $x$ значение многочлена $P(x)$ не равно нулю. Докажем более сильное утверждение: $P(x) > 0$ для всех $x < 0$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. Тогда его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в выражение для многочлена:

$P(-a) = (-a)^4 - 4(-a)^3 - 6(-a)^2 - 3(-a) + 9$

Выполним преобразования, учитывая степени отрицательного числа:

$P(-a) = a^4 - 4(-a^3) - 6(a^2) + 3a + 9$

$P(-a) = a^4 + 4a^3 - 6a^2 + 3a + 9$

Теперь нам нужно доказать, что полученное выражение $a^4 + 4a^3 - 6a^2 + 3a + 9$ всегда положительно при $a > 0$. Для этого сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат и положительные члены:

$P(-a) = (a^4 - 6a^2 + 9) + (4a^3 + 3a)$

Рассмотрим каждую из полученных групп отдельно.

1. Выражение в первых скобках, $(a^4 - 6a^2 + 9)$, представляет собой формулу квадрата разности: $(a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = (a^2 - 3)^2$.Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(a^2 - 3)^2 \geq 0$ для любого значения $a$.

2. Выражение во вторых скобках — это $(4a^3 + 3a)$. Так как по нашему условию $a > 0$, то каждое слагаемое в этой сумме строго положительно:

$4a^3 > 0$

$3a > 0$

Следовательно, их сумма также строго положительна: $4a^3 + 3a > 0$.

Таким образом, мы представили $P(-a)$ в виде суммы двух слагаемых:

$P(-a) = (a^2 - 3)^2 + (4a^3 + 3a)$

Первое слагаемое $(a^2 - 3)^2$ неотрицательно, а второе слагаемое $(4a^3 + 3a)$ строго положительно. Сумма неотрицательного и строго положительного числа всегда будет строго положительным числом.Следовательно, $P(-a) > 0$ для всех $a > 0$.

Поскольку $x = -a$ и $a > 0$ описывает все возможные отрицательные числа $x$, мы доказали, что $P(x) > 0$ для всех $x < 0$. Это означает, что многочлен не может быть равен нулю при отрицательных значениях $x$, то есть не имеет отрицательных корней.

Ответ: Утверждение доказано, так как при любом отрицательном $x$ значение многочлена строго больше нуля.