Номер 841, страница 209 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 841, страница 209.

Условие.

841. Постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = 2x^2 - 3|x| - 2$

Для построения графика данной функции, заметим, что она является четной, так как $y(-x) = 2(-x)^2 - 3|-x| - 2 = 2x^2 - 3|x| - 2 = y(x)$. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

В связи с этим, мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить полный график.

1. Построение графика для $x \ge 0$.
При $x \ge 0$, модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = 2x^2 - 3x - 2$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2 > 0$.
Найдем координаты вершины параболы:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$y_в = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) - 2 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
Вершина находится в точке $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.
Найдем точки пересечения с осями координат.
С осью OY: при $x = 0$, $y = 2(0)^2 - 3(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
С осью OX: при $y = 0$, решаем уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$x_1 = \frac{8}{4} = 2$, $x_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Так как мы рассматриваем случай $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=2$. Точка пересечения $(2, 0)$.

2. Построение полного графика.
Строим часть параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$ для $x \ge 0$ по найденным точкам: $(0, -2)$ (пересечение с OY), $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ (вершина), $(2, 0)$ (пересечение с OX).
Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Точка $(2,0)$ отразится в точку $(-2,0)$, а вершина $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$ отразится в точку $(-\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$.

График функции представлен на рисунке ниже.