Номер 847, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 847, страница 210.

Условие.

847. Сумма квадратов корней x₁ и x₂ уравнения x² – 3ax + a² = 0 равна 1,75. Найдите x₁ и x₂.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 3ax + a^2 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. По условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 1,75. Запишем это условие в виде равенства: $x_1^2 + x_2^2 = 1,75$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В нашем случае коэффициенты равны $p = -3a$ и $q = a^2$. Таким образом:
$x_1 + x_2 = -(-3a) = 3a$
$x_1 \cdot x_2 = a^2$

Теперь выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя известное алгебраическое тождество:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим в это тождество выражения, полученные по теореме Виета, и значение из условия задачи:
$(3a)^2 - 2(a^2) = 1,75$
$9a^2 - 2a^2 = 1,75$
$7a^2 = 1,75$

Решим полученное уравнение относительно параметра $a$. Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь 1,75 в обыкновенную: $1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$.
$7a^2 = \frac{7}{4}$
Разделим обе части на 7:
$a^2 = \frac{1}{4}$
Отсюда находим два возможных значения для $a$:
$a = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ или $a = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}$.

Теперь необходимо найти корни $x_1$ и $x_2$ для каждого из найденных значений $a$.

Случай 1: $a = \frac{1}{2}$
Подставляем это значение $a$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0$
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 4:
$4x^2 - 6x + 1 = 0$
Найдем корни по формуле для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{8}$
Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
$x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$
Первая пара корней: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$.

Случай 2: $a = -\frac{1}{2}$
Подставляем второе значение $a$ в исходное уравнение:
$x^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right)x + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 0$
$x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} = 0$
Умножим все уравнение на 4:
$4x^2 + 6x + 1 = 0$
Найдем корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{8} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{2(-3 \pm \sqrt{5})}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{4}$
Вторая пара корней: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$ и $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$.

Таким образом, существуют два возможных набора корней, удовлетворяющих условию задачи.
Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ и $\frac{3 - \sqrt{5}}{4}$; или $\frac{-3 + \sqrt{5}}{4}$ и $\frac{-3 - \sqrt{5}}{4}$.