Номер 853, страница 210 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 853, страница 210.

Условие.

853. Решите систему уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 19(x - y) \\ x^3 + y^3 = 7(x + y) \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение системы, используя формулы разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Для первого уравнения получаем:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 19(x - y)$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 19) = 0$

Это уравнение выполняется, если:

1) $x - y = 0 \implies x = y$

или

2) $x^2 + xy + y^2 - 19 = 0 \implies x^2 + xy + y^2 = 19$

Для второго уравнения получаем:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 7(x + y)$

$(x + y)(x^2 - xy + y^2 - 7) = 0$

Это уравнение выполняется, если:

A) $x + y = 0 \implies x = -y$

или

B) $x^2 - xy + y^2 - 7 = 0 \implies x^2 - xy + y^2 = 7$

Решение исходной системы сводится к решению четырех систем, полученных из комбинаций этих случаев.

Случай 1: $x - y = 0$ и $x + y = 0$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x = y \\ x = -y \end{cases} $$

Подставляя $x=y$ во второе уравнение, получаем $y = -y$, откуда $2y=0$ и $y=0$. Следовательно, $x=0$.

Первое решение: $(0, 0)$.

Случай 2: $x - y = 0$ и $x^2 - xy + y^2 = 7$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x = y \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Подставляем $x = y$ во второе уравнение:

$y^2 - y \cdot y + y^2 = 7 \implies y^2 = 7 \implies y = \pm\sqrt{7}$.

Если $y = \sqrt{7}$, то $x = \sqrt{7}$. Если $y = -\sqrt{7}$, то $x = -\sqrt{7}$.

Получаем еще два решения: $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$ и $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$.

Случай 3: $x^2 + xy + y^2 = 19$ и $x + y = 0$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x = -y \end{cases} $$

Подставляем $x = -y$ в первое уравнение:

$(-y)^2 + (-y)y + y^2 = 19 \implies y^2 - y^2 + y^2 = 19 \implies y^2 = 19 \implies y = \pm\sqrt{19}$.

Если $y = \sqrt{19}$, то $x = -\sqrt{19}$. Если $y = -\sqrt{19}$, то $x = \sqrt{19}$.

Получаем еще два решения: $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$ и $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$.

Случай 4: $x^2 + xy + y^2 = 19$ и $x^2 - xy + y^2 = 7$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 19 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases} $$

Сложим уравнения: $(x^2 + xy + y^2) + (x^2 - xy + y^2) = 19 + 7 \implies 2x^2 + 2y^2 = 26 \implies x^2 + y^2 = 13$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 19 - 7 \implies 2xy = 12 \implies xy = 6$.

Получили новую систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} $$

Из второго уравнения $y = 6/x$. Подставляем в первое:

$x^2 + (6/x)^2 = 13 \implies x^2 + 36/x^2 = 13$.

Домножаем на $x^2$ (где $x \neq 0$): $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$), тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 4$, $t_2 = 9$.

Возвращаемся к $x$:

Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

При $x=2$, $y=6/2=3$. При $x=-2$, $y=6/(-2)=-3$.

Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.

При $x=3$, $y=6/3=2$. При $x=-3$, $y=6/(-3)=-2$.

Получаем еще четыре решения: $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

Объединив все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(0, 0)$, $(\sqrt{7}, \sqrt{7})$, $(-\sqrt{7}, -\sqrt{7})$, $(\sqrt{19}, -\sqrt{19})$, $(-\sqrt{19}, \sqrt{19})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$, $(3, 2)$, $(-3, -2)$.