Номер 860, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 860, страница 211.

Условие.

860. Решите систему уравнений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Преобразуем каждое уравнение системы. Заметим, что выражение вида $a+ab+b$ можно представить как $(a+1)(b+1)-1$. Прибавим 1 к обеим частям каждого уравнения:

$ \begin{cases} x + xy + y + 1 = 5 + 1 \\ y + yz + z + 1 = 11 + 1 \\ z + zx + x + 1 = 7 + 1 \end{cases} $

Сгруппировав слагаемые в левых частях, получим новую систему:

$ \begin{cases} (x+1)(y+1) = 6 \\ (y+1)(z+1) = 12 \\ (z+1)(x+1) = 8 \end{cases} $

Для упрощения решения введем новые переменные: $a = x+1$, $b = y+1$, $c = z+1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} ab = 6 \\ bc = 12 \\ ca = 8 \end{cases} $

Перемножим все три уравнения этой системы:

$(ab)(bc)(ca) = 6 \cdot 12 \cdot 8$

$a^2 b^2 c^2 = 576$

$(abc)^2 = 576$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных случая для произведения $abc$:

$abc = 24$ или $abc = -24$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть $abc = 24$.

Чтобы найти переменные $a, b, c$, разделим уравнение $abc=24$ на каждое из уравнений системы $ab=6, bc=12, ca=8$:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{24}{6} = 4$

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{24}{12} = 2$

$b = \frac{abc}{ca} = \frac{24}{8} = 3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x, y, z$:

$x = a - 1 = 2 - 1 = 1$

$y = b - 1 = 3 - 1 = 2$

$z = c - 1 = 4 - 1 = 3$

Первое решение: $(1; 2; 3)$.

2. Пусть $abc = -24$.

Действуем аналогично:

$c = \frac{abc}{ab} = \frac{-24}{6} = -4$

$a = \frac{abc}{bc} = \frac{-24}{12} = -2$

$b = \frac{abc}{ca} = \frac{-24}{8} = -3$

Выполним обратную замену:

$x = a - 1 = -2 - 1 = -3$

$y = b - 1 = -3 - 1 = -4$

$z = c - 1 = -4 - 1 = -5$

Второе решение: $(-3; -4; -5)$.

Ответ: $(1; 2; 3)$, $(-3; -4; -5)$.