Номер 863, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Задачи повышенной трудности - номер 863, страница 211.

Условие.

863. За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы один третий рабочий проработал 48 ч, то для окончания работы одному первому потребовалось бы 10 ч, а одному второму — 15 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи примем весь объем работы за $1$. Обозначим производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) первого, второго и третьего рабочих как $p_1$, $p_2$ и $p_3$ соответственно. Время, за которое каждый из рабочих может выполнить всю работу самостоятельно, обозначим как $t_1$, $t_2$ и $t_3$. Эти величины связаны соотношением $t = 1/p$. Цель задачи — найти $t_1$, $t_2$ и $t_3$.

Составление системы уравнений

На основе условий задачи составим систему уравнений.
1. Производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго:
$p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2}$
2. Если третий рабочий проработает 48 часов, то он выполнит часть работы, равную $48 \cdot p_3$. Оставшаяся часть работы составит $1 - 48p_3$. Эту оставшуюся часть первый рабочий выполнит за 10 часов:
$1 - 48p_3 = 10 \cdot p_1$
3. Ту же самую оставшуюся работу ($1 - 48p_3$) второй рабочий выполнит за 15 часов:
$1 - 48p_3 = 15 \cdot p_2$

В результате мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2} \\ 1 - 48p_3 = 10p_1 \\ 1 - 48p_3 = 15p_2 \end{cases}$

Решение системы уравнений

Так как левые части второго и третьего уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$10p_1 = 15p_2$
Разделив обе части уравнения на 5, получим:
$2p_1 = 3p_2$
Отсюда можно выразить $p_1$ через $p_2$:
$p_1 = \frac{3}{2} p_2$

Теперь подставим полученное выражение для $p_1$ в первое уравнение системы:
$p_3 = \frac{\frac{3}{2} p_2 + p_2}{2} = \frac{\frac{5}{2} p_2}{2} = \frac{5}{4} p_2$

Мы выразили производительности $p_1$ и $p_3$ через $p_2$. Подставим выражение для $p_3$ в третье уравнение системы:
$1 - 48 \left(\frac{5}{4} p_2\right) = 15p_2$
$1 - 12 \cdot 5 p_2 = 15p_2$
$1 - 60p_2 = 15p_2$
$1 = 60p_2 + 15p_2$
$1 = 75p_2$
Отсюда находим производительность второго рабочего:
$p_2 = \frac{1}{75}$

Зная $p_2$, вычисляем производительности первого и третьего рабочих:
$p_1 = \frac{3}{2} p_2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{75} = \frac{3}{150} = \frac{1}{50}$
$p_3 = \frac{5}{4} p_2 = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{75} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$

Нахождение времени выполнения работы

Теперь, зная производительность каждого рабочего, мы можем найти время, за которое каждый из них выполнит всю работу.
Время для первого рабочего: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/50} = 50$ часов.
Время для второго рабочего: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/75} = 75$ часов.
Время для третьего рабочего: $t_3 = \frac{1}{p_3} = \frac{1}{1/60} = 60$ часов.

Ответ: Первый рабочий может выполнить всю работу за 50 часов, второй — за 75 часов, а третий — за 60 часов.