Номер 869, страница 212 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

869. Известно, что y = f(x) — линейная функция и x₁, x₂, x₃, … — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность f(x₁), f(x₂), … является арифметической прогрессией.

По условию, y = f(x) является линейной функцией. Общий вид линейной функции: $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые постоянные числа.

Также по условию, последовательность $x_1, x_2, x_3, \dots$ является арифметической прогрессией. По определению арифметической прогрессии, разность между любым последующим и предыдущим членами постоянна. Обозначим эту разность как $d$. Таким образом, для любого натурального $n$: $x_{n+1} - x_n = d$.

Рассмотрим последовательность, состоящую из значений функции $f(x)$ в точках $x_n$: $y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2), y_3 = f(x_3), \dots$. Чтобы доказать, что эта последовательность $y_n$ является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность $y_{n+1} - y_n$ является постоянной величиной для любого натурального $n$.

Вычислим эту разность: $y_{n+1} - y_n = f(x_{n+1}) - f(x_n)$.

Подставим в это выражение вид линейной функции $f(x) = kx + b$: $y_{n+1} - y_n = (k \cdot x_{n+1} + b) - (k \cdot x_n + b)$.

Раскроем скобки и упростим выражение: $y_{n+1} - y_n = kx_{n+1} + b - kx_n - b = kx_{n+1} - kx_n = k(x_{n+1} - x_n)$.

Мы знаем, что $x_{n+1} - x_n = d$. Подставим это значение в полученное равенство: $y_{n+1} - y_n = k \cdot d$.

Так как $k$ (угловой коэффициент функции) и $d$ (разность исходной прогрессии) являются постоянными величинами, их произведение $k \cdot d$ также является постоянной величиной.

Таким образом, мы доказали, что разность между любыми двумя последовательными членами последовательности $f(x_n)$ постоянна и равна $kd$. Следовательно, по определению, последовательность $f(x_1), f(x_2), \dots$ является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Последовательность значений линейной функции, аргументы которой образуют арифметическую прогрессию, сама является арифметической прогрессией с разностью $d' = kd$, где $k$ — угловой коэффициент линейной функции, а $d$ — разность исходной арифметической прогрессии.