Номер 868, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

868. В последовательности (xₙ) каждый член с нечётным номером равен 2a, а с чётным равен 2b. Напишите формулу n-го члена этой последовательности.

По условию задачи, в последовательности $(x_n)$ каждый член с нечётным номером $n$ равен $2a$, а с чётным — $2b$. Это можно записать так:
$x_n = 2a$, если $n$ — нечётное,
$x_n = 2b$, если $n$ — чётное.

Чтобы получить единую формулу для $n$-го члена, воспользуемся свойством выражения $(-1)^n$, которое принимает разные значения в зависимости от чётности $n$:
- если $n$ нечётное, то $(-1)^n = -1$;
- если $n$ чётное, то $(-1)^n = 1$.

Будем искать формулу в виде $x_n = A + B \cdot (-1)^n$, где $A$ и $B$ — неизвестные коэффициенты.

Подставим условия для чётных и нечётных $n$, чтобы найти $A$ и $B$.
1. Для нечётного $n$, имеем $x_n = 2a$. Наша формула даёт $x_n = A + B \cdot (-1) = A - B$. Получаем первое уравнение: $A - B = 2a$.
2. Для чётного $n$, имеем $x_n = 2b$. Наша формула даёт $x_n = A + B \cdot (1) = A + B$. Получаем второе уравнение: $A + B = 2b$.

Получили систему из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} A - B = 2a \\ A + B = 2b \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы найти $A$:
$(A - B) + (A + B) = 2a + 2b$
$2A = 2(a + b)$
$A = a + b$

Теперь подставим найденное значение $A$ во второе уравнение $A + B = 2b$:
$(a + b) + B = 2b$
$B = 2b - (a + b)$
$B = b - a$

Теперь, когда мы нашли коэффициенты $A = a + b$ и $B = b - a$, подставим их в нашу общую формулу $x_n = A + B \cdot (-1)^n$:
$x_n = (a + b) + (b - a)(-1)^n$

Проверим полученную формулу:
- Если $n$ нечётное: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1) = a+b-b+a = 2a$. Верно.
- Если $n$ чётное: $x_n = (a+b) + (b-a)(1) = a+b+b-a = 2b$. Верно.

Ответ: $x_n = (a+b) + (b-a)(-1)^n$.