Номер 862, страница 211 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Параграф 10. Геометрическая прогрессия. Глава 5. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 862, страница 211.

Условие.

862. Докажите, что при любом a выполняется неравенство

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного двойного неравенства, мы разделим его на две части и докажем каждую из них по отдельности:

1) $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$

2) $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$

Прежде всего, проанализируем выражение в знаменателе дроби: $a^2 + a + 1$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $a^2$ положительный (равен 1), то выражение $a^2 + a + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $a$. Это позволяет нам умножать обе части неравенств на этот знаменатель, не изменяя знак неравенства.

Доказательство первого неравенства:

$\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$

Умножим обе части на $3(a^2 + a + 1)$, которое, как мы выяснили, всегда положительно:

$3(a^2 - a + 1) \ge 1(a^2 + a + 1)$

$3a^2 - 3a + 3 \ge a^2 + a + 1$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$(3a^2 - a^2) + (-3a - a) + (3 - 1) \ge 0$

$2a^2 - 4a + 2 \ge 0$

Разделим обе части на 2:

$a^2 - 2a + 1 \ge 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(a - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $a$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю.

Доказательство второго неравенства:

$\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$

Умножим обе части на знаменатель $a^2 + a + 1 > 0$:

$a^2 - a + 1 \le 3(a^2 + a + 1)$

$a^2 - a + 1 \le 3a^2 + 3a + 3$

Перенесем все члены в правую часть неравенства:

$0 \le (3a^2 - a^2) + (3a + a) + (3 - 1)$

$0 \le 2a^2 + 4a + 2$

Разделим обе части на 2:

$0 \le a^2 + 2a + 1$

Правая часть является полным квадратом суммы:

$0 \le (a + 1)^2$

Это неравенство также верно для любого действительного значения $a$, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

Поскольку оба неравенства $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$ верны для любого $a$, то и исходное двойное неравенство выполняется при любом значении $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\frac{1}{3} \le \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + a + 1} \le 3$ доказано для всех действительных значений $a$.